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Sujets et corrigés des DS de mathématiques BCPST1A Lycée Hoche 2014-2015 Sébast

Sujets et corrigés des DS de mathématiques BCPST1A Lycée Hoche 2014-2015 Sébastien Godillon Table des matières Sujet du DS no 1 3 Corrigé du DS no 1 5 Exercice 1 (logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Exercice 2 (nombres réels, sommes, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exercice 3 (nombres réels, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Exercice 4 (nombres réels, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sujet du DS no 2 12 Corrigé du DS no 2 14 Exercice 1 (nombres complexes, équations, sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercice 2 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Exercice 3 (nombres complexes, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Exercice 4 (sommes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Exercice 5 (sommes doubles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sujet du DS no 3 23 Corrigé du DS no 3 25 Exercice 1 (suites, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Exercice 2 (dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Exercice 3 (dénombrement, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exercice 4 (équivalents, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Sujet du DS no 4 31 Corrigé du DS no 4 33 Exercice 1 (équations diﬀérentielles linéaires à coeﬃcients constants) . . . . . . . . . . . . 33 Exercice 2 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Problème (dénombrement, suites, sommes, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 1 sur 97 Sébastien Godillon Sujet du DS no 5 41 Corrigé du DS no 5 43 Exercice 1 (polynômes, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Exercice 2 (géométrie de l’espace, systèmes d’équations linéaires) . . . . . . . . . . . . . . 44 Exercice 3 (polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exercice 4 (géométrie du plan, calcul vectoriel, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Sujet du DS no 6 56 Corrigé du DS no 6 58 Exercice 1 (probabilités, matrices, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Exercice 2 (statistiques, fonctions de deux variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Exercice 3 (polynômes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Sujet du DS no 7 67 Corrigé du DS no 7 69 Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Exercice 2 (applications, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Exercice 3 (étude de fonctions, continuité, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Exercice 4 (probabilités, sommes, suites, matrices, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Sujet du DS no 8 76 Corrigé du DS no 8 78 Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, applications, logique, équivalents) . . . . . . . . 78 Exercice 2 (étude de fonctions, dérivabilité, développements limités, suites, limites) . . . . 82 Exercice 3 (développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Sujet du DS no 9 88 Corrigé du DS no 9 90 Problème (variables aléatoires, probabilités, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Exercice 1 (dérivabilité, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Exercice 2 (espaces vectoriels, applications linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 2 sur 97 Sébastien Godillon DS no 1 de mathématiques durée : 3h, calculatrice interdite Exercice 1 Dans un haras, un test génétique de couleur de robe (alezane, baie ou noire) est pratiqué sur les che- vaux de trait de deux races diﬀérentes : comtoise et percheronne. On considère les deux propositions suivantes : P : «Il existe un percheron dont l’échantillon d’ADN est porteur du gène noir.» Q : «Si l’analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échan- tillon d’ADN est porteur du gène alezan et du gène bai.» On note H l’ensemble des chevaux analysés du haras ; A, B et N les sous-ensembles de chevaux dont les échantillons d’ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir (respectivement) ; et enﬁn C et P les sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne (respectivement). On pourra utiliser la lettre h pour désigner un cheval analysé du haras (c’est-à-dire un élément générique de H). 1. Réécrire les propositions P et Q en langage mathématique à l’aide de quantiﬁcateurs et d’opérateurs logiques. 2. Réécrire la proposition Q en langage mathématique à l’aide d’opérations sur des ensembles. 3. Donner, en français, la négation de P et la négation de Q. 4. Donner, en français, la contraposée et la réciproque de Q. 5. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (les justiﬁcations ne sont pas demandées) : (a) Pour prouver que P est vraie, il est suﬃsant de prouver que tous les échantillons d’ADN du haras sont porteurs du gène noir. (b) Pour prouver que P est fausse, il est nécessaire de prouver l’existence d’un percheron dont l’échantillon d’ADN n’est pas porteur du gène noir. (c) Pour prouver que Q est fausse, il est suﬃsant de prouver que tous les échantillons d’ADN des comtois sont porteurs du gène noir. (d) Pour prouver que Q est vraie, il est nécessaire de prouver que tous les échantillons d’ADN neutres (c’est-à-dire porteurs d’aucun gène : ni alezan, ni bai, ni noir) ont été uploads/Philosophie/ ds-1415 2 .pdf