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MTH100: BASES MATHEMATIQUES NOTES DE COURS Kwassi ANANI Département de Mathémat

MTH100: BASES MATHEMATIQUES NOTES DE COURS Kwassi ANANI Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Université de Lomé, Togo 2020 Table des matières 1 Logique et raisonnement 3 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Le langage mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Les termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Les prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Les connecteurs et quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Logique des assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 L’assertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 La tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Qu’est ce que la tautologie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Prédicats incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Les quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Le quantiﬁcateur ∀: pour tout . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Le quantiﬁcateur ∃: il existe . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.3 La négation des quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Méthodes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.2 Le raisonnement direct ou déduction . . . . . . . . . . . . 14 1.6.3 La contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.4 L’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.5 Le contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.6 La disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.7 La récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Ensembles, Applications et Relations 17 2.1 Notions sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Réunion et intersection d’une famille d’ensembles . . . . . 20 1 TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 2.1.4 Ensembles disjoints et ensembles distincts . . . . . . . . . 21 2.1.5 Compléments sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Fonctions et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Compositions des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3 Images directes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.4 Dénombrabilité et puissance du continu. . . . . . . . . . . 27 2.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Ensemble ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Structure de R 29 3.1 Le corps archimédien valué R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Le groupe additif R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 L’anneau R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3 Le corps R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.4 Le corps valué R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Parties bornées de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Voisinage d’un point de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Suites et séries numériques 34 4.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.3 Suites bornées : lim sup et lim inf . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1.4 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.3 Séries uploads/Philosophie/ support2-mth100.pdf