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Université de Yaoundé I University of Yaounde I ENSET d’Ebolowa HTTTC of Ebolow

Université de Yaoundé I University of Yaounde I ENSET d’Ebolowa HTTTC of Ebolowa Département d’Informatique INF243, Rappels sur la logique mathématique, Avril 2021 MESSI NGUELÉ Thomas, PhD Ces rappels se feront sous formes de questions de cours et de réponses qui seront données pendant la séance de cours. Dans cette première partie consacrée à la logique mathématique, pour répondre à ces questions, les étudiants pourront utiliser le cours de Jean-Louis Rouget https://math.unice.fr/~frapetti/analyse/Logique.pdf 1. Dire comment sont baties les mathématiques : dire comment faire pour aboutir aux théorèmes. 2. Vocabulaire. Dire ce que signiﬁe les termes suivants employés dans le vocabulaire ma- thématique, donnez en un exemple : (a) Axiome (b) Proposition (c) Théorème (d) Corollaire (e) Lemme (f) Conjecture (g) Déﬁnition 3. Calcul propositionnel. (a) Donnez la table de vérité de la négation d’une proposition. (b) Quand dit-on que deux propositions sont équivalentes ? i. Comment le note-on ? ii. Donnez en la table de vérité. iii. Donnez un exemple de deux propositions équivalentes. iv. Soit P une proposition, montrer que P ⇐ ⇒P et P ⇐ ⇒P 4. Connecteurs logiques ∨et ∧. Soient P et Q deux propositions. (a) Donner les tables de vérité de : P ∨Q et P ∧Q (b) Montrer que : i. (P ∧P) ⇐ ⇒P, (P ∨P) ⇐ ⇒P ii. (P ∧Q) ⇐ ⇒(P ∨Q), (P ∨Q) ⇐ ⇒(P ∧Q). Comment appelle-t’on cette loi ? (c) Implication logique. Soient P, Q, R des propositions. i. Rappeler la table de vérité de P ⇒Q ii. Montrer que : (P ⇒Q) ⇐ ⇒(P ∨Q) iii. Montrer que : ((P ⇒Q) ∧(Q ⇒R)) ⇒(P ⇒R). iv. Montrer que : (P ⇐ ⇒Q) ⇐ ⇒((P ⇒Q) ∧(Q ⇒P)). Rappels sur la logique mathématique Page 1/2 INF243, Avril 2021 v. Montrer que : (P ⇒Q) ⇐ ⇒(P ∧Q) (négation d’une implication). vi. (Q ⇒P) ⇐ ⇒(P ⇒Q) (contraposée d’une implication) 5. Les quantiﬁcateurs ∀et ∃. (a) Justiﬁer les équivalences suivantes : i. (∀x ∈F, P(x)) ⇐ ⇒(∃x ∈F, P(x)). ii. (∃x ∈F, P(x)) ⇐ ⇒(∀x ∈F, P(x)). (b) Ecrire avec des quantiﬁcateurs les propositions suivantes : i. Pour tous les éléments x de F, la proposition P(x) est vraie. ii. Il existe au moins un élément x de E tel que la proposition P(x) est vraie. iii. il existe un et un seul élément x de E tel que la proposition P(x) est vraie. iv. g est la fonction nulle (où g est une fonction de R dans R) v. Le dénominateur D de g s’annule au moins une fois sur R. vi. g est l’identité de R (c’est-à-dire la fonction qui, à chaque réel, associe lui-même). vii. Tous les étudiants du niveau 2 font l’UE INF243. viii. Tout entier naturel est pair ou impair. ix. Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair. x. g est strictement monotone sur R (où g désigne une foncftion de R dans R). xi. g n’est pas strictement monotone sur R. 6. Les grands types de raisonnement. Rappeler comment fonctionnent les types de raisonnement mathématique suivants : (a) Le raisonnement déductif. (b) Le raisonnement par l’absurde. (c) Le raisonnement par contraposition. (d) Le raisonnement par recurrence. D’après vous, lequel sera utilisé dans dans un langage de programmation logique ? Justiﬁer votre réponse. Le prochain cours portera sur la logique propositionnelle et la logique des prédicats. Rappels sur la logique mathématique Page 2/2 INF243, Avril 2021 uploads/Philosophie/ universite-de-yaounde-i-university-of-yaounde-i-enset-d-x27-ebolowa-htttc-of-ebolowa.pdf