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Feuilles d’exercices d’Optimisation Alexandre Marino 1 1 Existence et Unicit´ e

Feuilles d’exercices d’Optimisation Alexandre Marino 1 1 Existence et Unicit´ e 1.1 ”semi-continuit´ e inf´ erieure” La semi-continuit´ e inf´ erieure s’exprime d’une mani` ere analytique ou g´ eom´ etrique comme suit : 1. En tout point x ∈IRn, on a lim infx′→x f(x′) ≥f(x). ( in´ egalit´ e dans R ∪{+∞}). 2. Pout tout α ∈IR, ”la coupe ` a hauteur α” {x ∈IRn, f(x) ≤α} est ferm´ e. 3. L’´ epigraphe de f, c’est ` a dire ”ce qui est au dessus du graphe de f ” : {(x, r) ∈IRn × IR, f(x) ≤r} est ferm´ e. Exercice 1. V´ eriﬁer l’´ equivalence des trois d´ eﬁnitions pr´ ec´ edentes. Exercice 2. Montrer les propri´ et´ es suivantes 1. La fonction caract´ eristique d’un ouvert (resp ferm´ e) est semi-continue inf´ erieurement ( resp sup´ erieurement). 2. Une fonction ` a valeur dans IR est continue si et seulement si elle est ` a la fois semi-continue inf´ erieurement et sup´ erieurement. 3. La borne sup d’une famille de fonctions semi-continues inf´ erieurement est semi-continue inf´ erieurement. 1.2 ”0- coercivit´ e ” Exercice 3. Montrer que si f est continue 0-coercive ( limx∈K,∥x∥→+∞f(x) = +∞) alors l’image r´ eciproque d’un compact est un compact. Exercice 4. Existence d’un minimum : On consid` ere le probl` eme : min x∈K f(x) (1.1) D´ emontrer le th´ eor` eme suivant : Th´ eor` eme 1.1. On suppose dans le probl` eme (1.1) que : 1. K est ferm´ e et il existe un point de K en lequel f est ﬁnie. 2. f est semi-continue inf´ erieurement sur IRn. 3. limx∈K,∥x∥→+∞f(x) = +∞. (f 0-coercive ) Alors f est born´ ee inf´ erieurement sur K et il existe ˆ x ∈K tel que f(ˆ x) = infx∈K f(x). 2 1.3 ”Th´ eor` eme de Weierstrass et convexit´ e” Exercice 5. Une fonction f : O ⊂IRn →IR convexe sur un ouvert convexe O y est continue. Exercice 6. Soit f une fonction convexe et K un ensemble convexe ferm´ e dans IRn. Alors le probl` eme (1.1) admet au moins une solution si l’une des deux conditions suivantes est satisfaite : 1. lim|x|→+∞f(x) = +∞ 2. K est born´ e. Sous ces hypoth` eses, montrer que l’ensemble des solutions optimales du probl` eme (1.1) est un ensemble convexe et born´ e. Montrer que le probl` eme (1.1) admet une unique solution si la fonction f est strictement convexe. 1.4 Applications Exercice 7. Soit K ferm´ e de IRn, a ∈IRn et f : x →∥a −x∥alors il existe ˆ x tel que ∥a −ˆ x∥≤∥a −x∥. Exercice 8. f : x ∈IRn →f(x) := 1 2 < Ax, x > + < b, x > +c. Avec A sym´ etrique d´ eﬁnie positive. Pour tout ferm´ ee K de IRn, il existe alors un unique ¯ x ∈K minimisant f sur K. 3 2 Condition de minimalit´ e 2.1 Condition de minima local du premier ordre Exercice 9. Soit f : O ⊂IRn →IR (O ouvert de IRn), Si ¯ x est un minimum local ( ou maximum ) de f et si f est diﬀ´ erentiable en ¯ x, alors : ∇f(¯ x) = 0 Caract´ erisation de la convexit´ e en termes du gradient : Dans le cas o` u la fonction f n’est suppos´ ee qu’une fois diﬀ´ erentiable, on a le r´ esultat suivant : Exercice 10. Soit f : K ⊂IRn →R une fonction une fois diﬀ´ erentiable, alors f est convexe si et seulement si f(y) ≥f(x) + ∇f(x)(y −x) ∀x, y ∈ K2, x ̸= y On voit bien l’interpr´ etation g´ eom´ etrique de ce dernier resultat quand n = 1 : le graphe d’une fonction convexe f se trouve toujours au-dessus de la tangente en un point donn´ e. Exercice 11. Montrer les r´ esultats suivants 1. Soit ¯ x un point tq ∇f(¯ x) = 0. Alors pour tout ϵ > 0, ¯ x est un minimum local strict de la fonction x →f(x) + ϵ∥x −¯ x∥. 2. Soit f : O ⊂IRn →IR convexe et diﬀ´ erentiable sur l’ouvert convexe O. Alors les conditions suivantes sont ´ equivalentes : – ¯ x est un minimum (global ) de f sur O. – ¯ x est minimum local de f. – ¯ x est tq ∇f(¯ x) = 0 3. Exemple : f : x ∈IRn →f(x) := 1 2 < Ax, x > + < b, x > +c. En l’absence de convexit´ e Exercice 12. Soit ¯ x ∈O un point en lequel f est continue et supposons qu’il existe un voisinage ouvert V de ¯ x tel que : 1. f est diﬀ´ erentiable sur V \{¯ x} 2. < ∇f(x), x −¯ x >≥0 ( resp. > 0) pour tout x ∈V \{¯ x}. Alors ¯ x est un minimum local ( resp. minimum local strict ) de f. Exercice 13. Applications : 1. f(x1, x2) := x2/3 1 + x4/5 2 + 1 2. f(x1, x2) := (x1−x2)4+(x1−1)4+10, on remarque que le second ordre ne suﬃt pas. 4 2.2 Condition de minimalit´ e global du premier ordre Exercice 14. Soit f : IRn →IR une fonction-objectif diﬀ´ erentiable sur IRn. Alors ¯ x ∈IRn est un minimum global de f sur IRn si et seulement si : 1. ∇f(¯ x) = 0 2. (convf)(¯ x) = f(¯ x). 2.3 Condition de minimalit´ e du second ordre Exercice 15. Si ¯ x est un minimum local de f et si f est deux fois diﬀ´ erentiable en ¯ x, alors : ∇f(¯ x) = 0, et ∇2f(¯ x) semi-d´ eﬁnie positive. Exercice 16. Si ¯ x est un minimum local de f et si f est deux fois diﬀ´ erentiable en ¯ x, et si : ∇f(¯ x) = 0, et ∇2f(¯ x) d´ eﬁnie positive, alors : ¯ x est un minimum local strict de f. Remarque 2.1. Attention il n’y a pas ´ equivalence. Exercice 17. Montrer que pour f(x1, x2) := 3x4 1 −4x2 1x2 + x2 2 (0, 0) est un point critique semi-d´ eﬁnie positif qui n’est pas un extremum local. 2.4 Convexit´ e et Diﬀ´ erentiabilit´ e Exercice 18. Si f : IR →IR est 2 fois continˆ ument d´ erivable sur K convexe alors f est convexe si et seulement si f ′′(x) ≥0 ∀x ∈K et strictement convexe si et seulement si f ′′(x) > 0 ∀x ∈K (sauf ´ eventuellement en des points isol´ es). Ce r´ esultat se g´ en´ eralise pour n > 1 : le r´ esultat suivant fait le lien entre le hessien et la propri´ et´ e de convexit´ e : Exercice 19. Soit f : K ⊂IRn →R une fonction deux fois diﬀ´ erentiable, alors f est convexe si et seulement si ∇2f(x) ≥0 ∀x ∈K, et strictement convexe si et seulement si ∇2f(x) > 0 ∀x ∈K. 2.5 Exercices Exercice 20. Soit K un ensemble convexe ferm´ e. On consid` ere la fonction : p(x) := 1 2∥x −Px∥2 O` u P d´ esigne le projecteur sur K. Montrer que cette fonction est d´ erivable et calculer son gradient. En d´ eduire que p est convexe. 5 Exercice 21. On consid` ere l’application d´ eﬁnie sur IR2 par : f(x, y) := 1 4x4 −xy + y2 1. Montrer que f est 0- coercive. En d´ eduire l’existence d’un minimum global. 2. Calculer le gradient en tout point. Determiner les points critiques. 3. En d´ eduire le minimum global de f. Exercice 22. On consid` ere l’application d´ eﬁnie sur IR3 par : f(x, y, z) := x2y −xln(y) + z(z −1)(z + 1)2 Calculer le gradient et la matrice hessienne de f aux points A = (1/e2, e2, −1) et B = (0, 1, −1). V´ eriﬁer si A et B sont des extrema locaux de f. Exercice 23. Chercher les extrema globaux de f(x, y, z) = x2 +y2 +z2 sous la contrainte x+y +z = 1 en se ramenant ` a un probl` eme d’optimisation sans contrainte dans IR2. Faites une interpr´ etation g´ eom´ etrique. Exercice 24. Chercher les extrema globaux de f(x, y, z) = x2 +y2 +z2 sous la contrainte x + y2 = 1 en se ramenant ` a un probl` eme d’optimisation sans contrainte dans IR2. Faites une interpr´ etation g´ eom´ etrique. Exercice 25. Chercher les extrema globaux de f(x, y, z) = 5x2 + y2 −2xy sous la contrainte x2 + y2 = 1 en se ramenant ` a un probl` eme d’optimisation sans contrainte dans IR2. Faites une interpr´ etation g´ eom´ etrique. Exercice 26. On consid` ere la fonction Jp d´ eﬁnie dans IR3 ( p ´ etant un param` etre r´ eel). Jp(x, y, z) := x4 + y4 + z4 −p(x2 + y2 + z2 −1) 1. D´ emontrer que la fonction Jp est coercive. En d´ eduire que la proposition (P) suivante est uploads/Religion/ opti.pdf