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SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du CENTRE NATIONAL DE LA

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ASTÉRISQUE 376 2016 LAGRANGIAN FLOER THEORY AND MIRROR SYMMETRY ON COMPACT TORIC MANIFOLDS Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta & Kaoru Ono Astérisque est un périodique de la Société Mathématique de France. Numéro 376, 2016 Comité de rédaction Ahmed Abbes Damien Gaboriau Viviane Baladi Michael Harris Gérard Besson Fabrice Planchon Laurent Berger Pierre Schapira Philippe Biane Bertrand Toen Hélène Esnault Éric Vasserot (dir.) Diﬀusion Maison de la SMF Hindustan Book Agency AMS Case 916 - Luminy O-131, The Shopping Mall P.O. Box 6248 13288 Marseille Cedex 9 Arjun Marg, DLF Phase 1 Providence RI 02940 France Gurgaon 122002, Haryana USA smf@smf.univ-mrs.fr Inde www.ams.org Tarifs Vente au numéro : 55 e ($ 82) Abonnement Europe : 654 e, hors Europe : 692 e ($ 1038) Des conditions spéciales sont accordées aux membres de la SMF. Secrétariat : Nathalie Christiaën Astérisque Société Mathématique de France Institut Henri Poincaré, 11, rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05, France Tél : (33) 01 44 27 67 99 • Fax : (33) 01 40 46 90 96 revues@smf.ens.fr • http://smf.emath.fr/ © Société Mathématique de France 2016 Tous droits réservés (article L 122–4 du Code de la propriété intellectuelle). Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l’éditeur est illicite. Cette représen- tation ou reproduction par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles L 335–2 et suivants du CPI. ISSN 0303-1179 ISBN 978-2-85629-825-1 Directeur de la publication : Marc Peigné SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ASTÉRISQUE 376 2016 LAGRANGIAN FLOER THEORY AND MIRROR SYMMETRY ON COMPACT TORIC MANIFOLDS Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta & Kaoru Ono Kenji Fukaya Simons Center for Geometry and Physics, State University of New York, Stony Brook, NY 11794-3636 U.S.A., & Center for Geometry and Physics, Institute for Basic Sci- ences (IBS), Pohang, Korea kfukaya@scgp.stonybrook.edu Yong-Geun Oh Center for Geometry and Physics, Institute for Basic Sciences (IBS), Pohang, Korea & Department of Mathematics, POSTECH, Pohang, Korea yongoh1@postech.ac.kr Hiroshi Ohta Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Nagoya, Japan ohta@math.nagoya-u.ac.jp Kaoru Ono Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto, Japan ono@kurims.kyoto-u.ac.jp Classiﬁcation mathématique par sujet (2000). — 53D37, 53D40, 53D45, 14B07, 14M25, 37J05. Keywords. — Floer cohomology, mirror symmetry, toric manifolds, open-closed Gromov-Witten in- variant, Saito’s theory of singularities, Landau-Ginzburg model, weakly unobstructed Lagrangian submanifolds, potential function, Jacobian ring, Frobenius manifold. KF is supported partially by JSPS Grant-in-Aid for Scientiﬁc Research #19104001, 23224002, Global COE program G08 and NSF Grant No. 1406423, YO by US NSF grant #0904197 and the IBS project IBS-R003-D1, HO by JSPS Grant-in-Aid for Scientiﬁc Research #19340017, 23340015, 15H02054 and KO by JSPS Grant-in-Aid for Scientiﬁc Research, #18340014, 21244002, 23224001, 26247006. LAGRANGIAN FLOER THEORY AND MIRROR SYMMETRY ON COMPACT TORIC MANIFOLDS Kenji FUKAYA, Yong-Geun OH, Hiroshi OHTA & Kaoru ONO Abstract. — In this paper we study Lagrangian Floer theory on toric manifolds from the point of view of mirror symmetry. We construct a natural isomorphism between the Frobenius manifold structures of the (big) quantum cohomology of the toric manifold and of Saito’s theory of singularities of the potential function constructed in [Fukaya, Tohoku Math. J. 63 (2011)] via the Floer cohomology deformed by am- bient cycles. Our proof of the isomorphism involves the open-closed Gromov-Witten theory of one-loop. Résumé (La théorie de Floer lagrangienne ét la symétrie miroir sur les variétés toriques). — Dans ce volume nous étudions la théorie de Floer lagrangienne sur les variétés toriques du point de vue de la symétrie miroir. Nous construisons un isomorphisme naturel entre les structures des variétés de Frobenius du grand anneau de cohomo- logie quantique de la variété torique et de la théorie des singularités de Saïto sur la fonction potentielle construite en [Fukaya, Tohoku Math. J. 63 (2011)] en utilisant la cohomologie de Floer déformée par les cycles ambiants. Notre démonstration de l’isomorphisme utilise les invariants de Gromov-Witten ouverts/fermés de la théorie d’une-boucle. © Astérisque 376, SMF 2016 CONTENTS 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Notations and terminologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Projective space: an example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. Ring isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1. Norms and completions of polynomial ring over Novikov ring . . . . . . . 29 2.2. Localization of Jacobian ring at moment polytope . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Operator q: review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. Well-deﬁnedness of Kodaira-Spencer map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5. Well-deﬁnedness of potential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6. Kodaira-Spencer map is a ring homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.7. Surjectivity of Kodaira-Spencer map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.8. Versality of the potential function with bulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.9. Algebraization of Jacobian ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.10. Seidel homomorphism and a result by McDuﬀ-Tolman . . . . . . . . . . . . . 97 2.11. Injectivity of Kodaira-Spencer map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.11.1. The case b ∈A(Λ+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.11.2. The case b ∈A(Λ0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.12. The Chern class c1 and critical values of POb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 uploads/Science et Technologie/ asterisque-lagrangian-floer-theory-and-mirror-symmetry-on-compact-toric-manifolds.pdf