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informatique commune Contrôle d’informatique Durée : 1 heure Exercice 1 On cons

informatique commune Contrôle d’informatique Durée : 1 heure Exercice 1 On considère une fonction f : R →R de classe C 3 ainsi que deux réels a ∈R et h > 0. On rappelle (ou on admet) que la fonction F : x 7→ Z x a f (t)dt est une application de classe C 4 telle que ∀x ∈R, F′(x) = f (x). a) Déterminez les valeurs à choisir pour les coeﬃcients α et β de telle manière que la formule : (1) Z a+h a f (t)dt ≈αf (a) + βf (a + h) soit exacte pour des polynômes de degré le plus haut possible. On suppose désormais α et β ainsi choisis. b) On note I = Z a+h a f (t)dt, I(h) = αf (a) + βf (a + h) et R(h) = I −I(h). En appliquant la formule de Taylor-Young à la fonction R, prouver que : R(h) = −h3 12f ′′(a) −h4 24f (3)(a) + o(h4). c) En utilisant la formule d’intégration (1), donner une approximation de I1 = Z a+h/2 a f (t)dt et I2 = Z a+h a+h/2 f (t)dt puis en écrivant que I = I1 + I2, donner une approximation de I notée J(h). d) On déﬁnit r(h) = I −J(h). Par un calcul analogue à celui de la question b. et qu’on ne demande pas d’eﬀectuer, on obtient : r(h) = −h3 48f ′′(a) −h4 96f (3)(a) + o(h4) En déduire des coeﬃcients constants λ et µ tels que : λJ(h) + µI(h) = I + ch4 + o(h4) où c est une constante à déterminer. e) À quelle méthode d’intégration numérique correspond l’approximation de I par λJ(h) + µI(h) ? Exercice 2 On considère un polynôme p à coeﬃcients réels de degré inférieur ou égal à n : p(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a2x2 + a1x + a0 représenté en machine par le tableau de ces coeﬃcients : [a0,a1,...,an−1,an]. a) À tout réel α on associe la suite ﬁnie (b0,b1,...,bn) déﬁnie par les relations : (1) bn = an et ∀i ∈⟦0,n −1⟧, bi = ai + αbi+1 et on note p1 le polynôme p1(x) = bnxn−1 + bn−1xn−2 + ··· ,b2x + b1. Montrer que p(x) = (x −α)p1(x) + b0. De la formule précédente il résulte immédiatement que b0 = p(α). On appelle schéma de Hörner l’algorithme de calcul de p(α) à l’aide des relations (1). Cet algorithme est souvent utilisé pour évaluer p(α) car il provoque moins d’erreurs numériques qu’une démarche naïve. b) Exprimer p′(α) en fonction de p1 et de α et en déduire à l’aide du schéma de Hörner une suite ﬁnie (c1,...,cn) telle que p′(α) = c1. c) L’algorithme de Newton-Hörner est une méthode d’approximation d’une racine d’un polynôme p obtenue en appliquant la méthode de Newton-Raphson à p mais en évaluant p et p′ par le biais du schéma de Hörner. Rédiger une fonction Python qui prend en arguments un polynôme p représenté par la liste de ces coeﬃcients [a0,a1,...,an] et une valeur initiale x0 et qui retourne la première itérée x1 de la méthode de Newton (en supposant qu’elle existe). ♦ ♦ ♦ page 1 uploads/Science et Technologie/ devoir-15-analyse-numerique-epreuve-pdf.pdf