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Adil ELMARHOUM Mohamed DIOURI PROBABILITES Exercices corrigés avec rappels de c

Adil ELMARHOUM Mohamed DIOURI PROBABILITES Exercices corrigés avec rappels de cours COLLECTION SCIENCES TECHNIQUES ET MANAGEMENT PROBABILITES Exercices corrigés avec rappels de cours Tous les droits sont réservés Dépôt légal N° 2003/0049 I.S.B.N. 9954-409-41-6 Première édition 2003 Deuxième édition 2008 Troisième édition 2014 Les livres de la collection Sciences et Techniques sont édités par les Instituts supérieurs du Génie Appliqué IGA de Rabat, Marrakech, Fès, El Jadida et Settat. DEDICACE Pour que la mémoire demeure Lorsqu’une âme pleure une autre âme M D SOMMAIRE LIMINAIRE 7 CH. 1. PROBABILITES 9 1.1. Définitions. 9 1.2. Notion d’exclusivité 10 1.3. Notion d’indépendance. 11 1.4. Théorème de Bayse. 12 1.5. Enonces des exercices d’application. 13 1.6. Solutions des exercices. 15 CH. 2. VARIABLE ALEATOIRE. 27 2.1. Définitions. 27 2.2. Distribution de probabilité. 28 2.3. Couple de variables aléatoires. 29 2.4. Espérance mathématique. 31 2.5. Inégalité de Bienaymé Tchebychev. 33 2.6. Enoncés des exercices d’application. 33 2.7. Solutions des exercices. 36 CH. 3. ANALYSE COMBINATOIRE ET CALCUL DES PROBABILITES. 54 3.1. Permutations. 54 3.2. Arrangements. 54 3.3. Combinaisons. 55 3.4. Enoncés des exercices d’application. 56 3.5. Solutions des exercices d’application. 59 CH. 4. LOIS DE PROBABILITE DISCRETES. 78 4.1. Loi Bernoulli. 78 4.2. Loi Binomiale. 78 4.3. Loi Polynomiale. 79 4.4. Loi Hypergéométrique. 80 4.5. Loi Hypergéométrique généralisée. 81 4.6. Loi de Poisson. 81 4.7. Enoncés des exercices d’application. 82 4.8. Solutions des exercices d’application. 85 CH. 5. LOIS DE PROBABILITE CONTINUES. 99 5.1. Loi normale. 99 5.2. La loi Khi deux de Pearson. 101 5.3. La loi de Student. 102 5.4. La loi de Fisher Snedecor. 103 5.5. Enoncés des exercices d’application. 104 5.6. Solutions des exercices d’application. 107 CH. 6. CONVERGENCE DES LOIS DE PROBABILITE LOIS DES GRANDS NOMBRES. 122 6.1. Convergence en probabilité. 122 6.2. Convergence en loi probabilité. 122 6.3. Enoncés des exercices d’application. 124 6.4. Solutions des exercices d’application. 126 TABLES STATISTIQUES 140 BIBLIOGRAPHIE 163 7 LIMINAIRE Le calcul des probabilités n’intervient pas uniquement, comme semble le croire une tradition tenace, pour le calcul des chances de gagner ou de perdre dans des jeux de hasard : lancement de dés, jeux de cartes, courses de chevaux, loterie nationale, etc. Il est vrai qu’à l’origine le développement de la théorie des probabilités est dû, en grande partie, aux calculs sur les jeux de hasard, mais par la suite, probabilités, lois de probabilités, lois statistiques ont été développées pour introduire les statistiques décisionnelles, à savoir : échantillonnages, distributions, estimations, etc. Ce livre est ainsi une introduction au livre sur les statistiques décisionnelles puisqu’il renferme tous les chapitres que doit connaître un étudiant avant d’aborder les statistiques décisionnelles, à savoir : les calculs sur les probabilités, les variables aléatoires discrètes et continues, les lois de probabilités et les lois statistiques de variables discrètes et continues. Nous avons conçu ce livre à l’instar de ce que nous avons fait pour notre livre sur la statistique descriptive : chaque chapitre commence par de brefs rappels de cours suivis d’énoncés des exercices d’application et se termine par les solutions proposées. Tant l’étudiant que les professeurs pourront ainsi trouver : - Le premier, l’occasion pour s’entrainer, autant qu’il veut, et préparer, dans de meilleures conditions ses examens en probabilités ; - Le second, un ensemble important d’exercices d’application pour illustrer son cours sur les probabilités. 8 En effet l’étudiant et le professeur savent que la meilleure façon d’apprendre et de faire apprendre une matière repose essentiellement sur la qualité et la quantité des cas pratiques étudiés. Adil ELMARHOUM Professeur chercheur Mohamed DIOURI Fondateur de l’IGA. Casablanca, mars 2014 . Probabilités. 10. Probabilités 9 CHAPITRE 1 PROBABILITES 1.1. DEFINITIONS. 1.1.1. Expérience et événement aléatoires. La définition de la probabilité est liée aux notions d’expériences et d’événements aléatoires. Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut en prévoir exactement le résultat, du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés. Un événement aléatoire est un événement qui peut se réaliser ou ne pas se réaliser au cours d’une expérience aléatoire. Exemples : - Le jet d’un dé numéroté de 1 à 6 est une expérience aléatoire car le résultat du jet est imprévisible. L’événement avoir une face paire du dé est un événement aléatoire car le résultat du jet peut être impair comme il peut être pair. - Le choix d’une personne dans un groupe d’individus contenant des hommes et des femmes est une expérience aléatoire car le résultat du choix est imprévisible. L’événement choisir une femme est un événement aléatoire car la personne choisie peut être une femme comme elle peut être un homme. 1.1.2. Définition classique de la probabilité. Si au cours d’une expérience aléatoire on peut dénombrer tous les événements possibles, et si pour chaque événement on peut déterminer le nombre de cas favorables à la réalisation d’un événement aléatoire quelconque A, on définit classiquement la probabilité de l’événement A comme étant le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles. possibles cas de Nombre favorables cas de Nombre ) A ( p = Cette définition montre que la probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. 0 ≤ p ≤ 1 La probabilité de tout événement qui doit nécessairement se réaliser au cours d’une expérience aléatoire est égale à 1, il s’agit d’un événement certain. Probabilités. 10. Probabilités 10 P(événement certain) = 1 La probabilité de tout événement qui ne peut pas se réaliser au cours d’une expérience aléatoire est nulle, il s’agit d’un événement impossible. P(événement impossible) = 0 1.2. NOTION D’EXCLUSIVITE. 1.2.1. Evénements exclusifs. Deux événements aléatoires d’une même expérience aléatoire sont dits exclusifs ou incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément. Si deux événements aléatoires A et B sont exclusifs alors : p(A ou B) = p(A) + p(B) et p(A et B) = 0 Si deux événements aléatoires A et B ne sont pas exclusifs alors : p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A et B) 1.2.2. Evénements mutuellement exclusifs. Plusieurs événements aléatoires associés à une même expérience aléatoire sont dits mutuellement exclusifs ou mutuellement incompatibles s’ils sont exclusifs deux à deux. Si k événements A1, A2, …, Ak sont mutuellement exclusifs alors : p(A1 ou A2 ou … ou Ak) = p(A1) + p(A2) + … + p(Ak) Si trois événements aléatoires A, B, et C ne sont pas mutuellement exclusifs alors : p(A ou B ou C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A et B) – p(A et C) – p(B et C) + p(A et B et C) 1.2.3. Evénements complémentaires. Plusieurs événements aléatoires associés à une même expérience aléatoire sont dits totalement exclusifs ou complémentaires s’ils sont exclusifs deux à deux et si l’un d’eux doit nécessairement se réaliser. Si k événements A1, A2, …, Ak sont complémentaires alors : p(A1 ou A2 ou … ou Ak) = p(A1) + p(A2) + … + p(Ak) = 1 Probabilités. 10. Probabilités 11 1.3. NOTION D’INDEPENDANCE. 1.3.1. Probabilité conditionnelle. Considérons le cas de plusieurs expériences aléatoires simultanées ou successives. Soient deux événements aléatoires A et B non nécessairement exclusifs. La probabilité conditionnelle de l’événement A sous la condition B, est la probabilité de réalisation de l’événement A, lors d’une expérience, sachant que l’événement B est déjà réalisé, lors d’une expérience simultanée ou antérieure. Elle est désignée par : ) B ( p B) et p(A ) B / A ( p = Soient deux événements aléatoires A et B non nécessairement exclusifs. La probabilité conditionnelle de l’événement B sous la condition A, est la probabilité de réalisation de l’événement B, lors d’une expérience, sachant que l’événement A est déjà réalisé, lors d’une expérience simultanée ou antérieure. Elle est désignée par : ) A ( p B) et p(A ) A / B ( p = Cette définition conduit à la formule de probabilité composée : P(A et B) = p(A) × p(B/A) = p(B) × p(A/B) On peut généraliser cette formule à plusieurs événements. Ainsi pour trois événements A, B, et C : P(A et B et C) = p(A) × p(B/A) × p(C/A et B) 1.3.2. Evénements indépendants. Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de voir se réaliser l’événement A ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de l’événement B. La probabilité de voir se réaliser l’événement B ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de l’événement A. p(A) = p(A/B) = p(A/non B) p(B) = p(B/A) = p(B/non A) Deux événements A et B sont donc indépendants si : p(A et B) = p(A) × p(B) Probabilités. 10. Probabilités 12 Plusieurs événements A1, A2, …, Ak sont indépendants si : p(A1 et A2 et … et Ak) = p(A1) × p(A2) × … × p(Ak) L'indépendance de plusieurs événements deux à deux n'entraîne pas nécessairement l'indépendance de l'ensemble des événements. 1.4. THEOREME DE BAYSE. Soient E1, E2, …, Ek, une série de k événements aléatoires totalement exclusifs. À chacun de ces événements correspond une information initiale qui permet d’évaluer à priori uploads/Science et Technologie/ probabilites-exercices-corriges-avec-rappels-de-cours-pdf.pdf