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1 Variables aléatoires. 4ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Pour décrire

1 Variables aléatoires. 4ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Pour décrire le résultat d’une expérience aléatoire associée à un univers Ω, on fait souvent correspondre un nombre à chaque élément de Ω. § Exemple introductif Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules blanches indiscernables au toucher. On extrait simultanément 2 boules. 1) Déterminer card Ω =……………………... 2) On perçoit un dinar pour chaque boule rouge tirée. Désignons par X la somme gagnée à l’issue d’un tirage de 2 boules. a) Quelles sont les valeurs prises par X ?.................................................................................. b) Quelle est la probabilité de l’événement « gagner 0 dinar » ? On note cette probabilité p(X = 0). ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… c) Calculer de même p(X = 1) et p(X = 2). …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Les résultats précédents peuvent être présentés dans un tableau Gain xi 1 x = 0 2 x =1 3 x =2 Probabilité pi = p(X = xi) Ce tableau défini la loi de probabilité de X. § Aléa numérique ( Variable aléatoire ). Loi de probabilité Définition : Soit Ω un univers muni d’une probabilité p. On appelle aléa numérique X défini sur Ω une application qui à chaque élément de Ω fait correspondre un nombre réel. Désignons par X(Ω) l’ensemble des valeurs possibles de X. { } 1 2 ( ) ; ;.....; . n X x x x Ω= La loi de probabilité de X est l’application qui à tout élément x de X(Ω) fait correspondre la probabilité que X prenne cette valeur x. Par abus de langage on dit que c’est la probabilité que « X soit égal à x ». Il est commode de présenter cette loi de probabilité sous forme d’un tableau : i x 1 x 2 x … n x ( ) i p X x = 1 p 2 p … n p Variables aléatoires 4ème Sciences Avril 2010 A. LAATAOUI 2 Variables aléatoires. 4ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com § Exercice On place dans une urne six boules numérotés de 0 à 5, indiscernables au toucher. L’expérience consiste à tirer simultanément trois boules. 1. Quel est le nombre de tirages possibles. 2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque expérience, prend comme valeur le plus grand des numéros portés sur les trois boules tirées. Déterminer la loi de probabilité de X. § Espérance mathématique Définition Soit un aléa numérique X prenant les valeurs 1 x , 2 x ,……, n x avec les probabilités 1 p , 2 p ,……, n p . On appelle espérance mathématique de X le nombre E(X) défini par : E(X) = ∑ i=1 n ( ) pi xi . Exemple Soit X un aléa numérique dont la loi de probabilité est définie par le tableau suivant : x 0 1 2 ) ( x X p = 7 2 7 4 7 1 L’espérance mathématique de X est E(X) = …………………………………………………………………. Propriétés : Soient X et Y deux aléas numériques définies sur Ω et a un réel. L’espérance des variables aléatoires X + Y et a X est donnée par : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(a X) = a E(X). Variance, écart type Variance : Soit un aléa numérique X prenant les valeurs 1 x , 2 x ,……, n x avec les probabilités 1 p , 2 p ,……, n p . On appelle variance de X, le nombre noté V( X ) défini par : V(X) = ∑ i=1 n pi ( ) xi – E(X) 2 = ∑ i=1 n pi xi² – E(X)². Exemple Calculons la variance de X de l’exemple précédent. On sait que 7 6 ) ( = X E . D’où : 2 2 2 7 6 2 7 1 7 6 1 7 4 7 6 0 7 2 ) (      − +      − +      − = X V 408 , 0 343 140 ) ( ≈ = X V Ou bien 408 , 0 49 20 49 36 7 8 7 6 4 7 1 1 7 4 0 7 2 ) ( 2 ≈ = − =       − × + × + × = X V 3 Variables aléatoires. 4ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Propriétés : V(X) ≥ 0. V(X + a) = V(X). V(a X) = a² V(X). L’écart type L’écart type d’un aléa numérique X est défini par : ) ( ) ( X V X = σ . Exercice 4 page 94. § Fonction de répartition Dans le cas de l’exemple du paragraphe ( aléas numériques ), on peut se poser les questions suivantes : Quelle est la probabilité de gagner au plus deux dinars ? au moins un dinars ? etc. La connaissance de la fonction de répartition permet de répondre à ces questions. Définition Soit un aléa numérique X défini sur un univers Ω muni d’une probabilité p. La fonction de répartition F de X est la fonction de IR vers [0 ; 1] qui, à tout réel x, associe la probabilité que X soit inférieure ou égale à x : F(x) = p ( X ≤ x ). La fonction de répartition est constante par intervalles. Exemple : Reprenons l’exemple du paragraphe précédent. Intervalles des valeurs de x Valeurs de X vérifiant X ≤ x F(x), c’est – à – dire p(X ≤ x), vaut : ] [ 0 ; ∞ − Aucune 0 [ [ 1 ; 0 0 7 2 ) 0 ( = = X p [ [ 2 ; 1 0 et 1 7 6 7 4 7 2 ) 1 ( ) 0 ( = + = = + = X p X p [ [ +∞ ; 2 0, 1 et 2 1 7 1 7 6 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( = + = = + = + = X p X p X p 4 Variables aléatoires. 4ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Représentation graphique de F Propriétés de la fonction de répartition ü F est une fonction en escalier ; F est une fonction croissante. ü A partir de F on peut retrouver la loi de probabilité de X. Exemple : p(X = 1) = F(1) – F(0) = . 7 4 7 2 7 6 = − Exercice 3 page 94. 0 1 2 3 7 2 7 6 1 F(x) ) x 5 Variables aléatoires. 4ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com § Loi Binomiale : Exemple introductif : On lance quatre fois de suite un jeton truqué dont les faces sont numérotés 0 et 1, avec la probabilité d’obtenir 1 est 3 4 . q Chaque lancer est une épreuve ayant deux issues « 0 ou 1 » On a donc une répétition quatre fois de suite de la même épreuve dans les mêmes conditions et avec indépendance entre elles. q Pour lune de ces quatre épreuves on appelle succès et on note S l’événement « obtenir 1 » et donc échec noté E l’événement « obtenir 0 » On a : p (S) = 3 4 et P (E) = 1 – p (S) = 1 4 . q Soit X l’aléa numérique qui à chaque série de quatre lancers associe le nombre de succès réalisés, c. a. d « le nombre de fois où l’on a obtenu 1 » X ( ) Ω= { } 0,1,2,3,4 . q { } 0 X = : les quatre numéros obtenus sont : (0, 0, 0, 0) c. a. d (E, E, E, E). { } ( ) ( ) 4 4 1 0 4 p X p E   ⇒ = = =         q { } 1 X = : « Obtenir une seule fois le numéro 1 » ou bien « obtenir un seul succès » →(S, E, E, E) ou (E, S, E, E) ou (E, E, S, E) ou (E, E, E, S). ( ) ( ) ( ) 3 3 1 4 3 1 1 4 4 4 p X p S p E C     ⇒ = = × × = ×             q { } 2 X = : « obtenir 2 succès pendant les quatre épreuves » →(S, S, E, E) ou (S, E, S, E) ou (S, E, E, S). ou (E, S, S, E) ou (E, S, E, S) ou (E, E, S, S) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 3 1 2 4 4 p X C p S p E C     ⇒ = = × × = ×                 2 4 6 C = correspond au nombre de choix de 2 places uploads/Science et Technologie/ cours-math-variables-aleatoires-bac-sciences-2009-2010-mr-abdelbasset-laataoui.pdf