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Université des sciences et de la technologie M.B d’oran Département d’hydrauliq

Université des sciences et de la technologie M.B d’oran Département d’hydraulique M004 : Probabilités et statistiques TD N°1 : Analyse combinatoire Exercice 1 1. Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec un alphabet à 26 lettres 2. Combien y a-t-il de ces mots si on peut utiliser plusieurs fois la même lettre Exercice 2 1. Combien de mot peut-on former avec le mot math et le mot hydraulique? 2. Dans chacun des cas suivants, dénombrer les anagrammes du mot « combine » :  commençant et finissant par une consonne ;  commençant et finissant par une voyelle ; Exercice 3 Dans une classe de 32 élèves, on compte 19 garçons et 13 filles. On doit élire deux délégués 1) Quel est le nombre de choix possibles ? 2) Quel est le nombre de choix si l’on impose un garçon et fille 3) Quel est le nombre de choix si l’on impose 2 garçons ? Exercices 4 Un questionnaire à choix multiples, autorisant une seule réponse par question, comprend 15 questions. Pour chaque question, on propose 4 réponses possibles. De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ? Exercice 5 Soit A l'ensemble des nombres de quatre chiffres, le premier étant non nul. 1) Calculer le nombre d'éléments de A. 2) Dénombrer les éléments de A :  composés de quatre chiffres distincts  composés d'au moins deux chiffres identiques  composés de quatre chiffres distincts autres que 5 et 7 Exercice 6 un étudiant doit répondre à 7 parmi 10 questions :  de combien de manière peut-il les choisir  de combien de manière peut-il les choisir s’il est obligé de choisir 3 des 5 premières questions  de combien de manière peut-il les choisir s’il est obligé de choisir au moins 3 des 5 premières questions Université des sciences et de la technologie M.B d’oran Département d’hydraulique M004 : Probabilités et statistiques TD N°2 : Probabilités Exercice 1 Soit A et B deux événements de Ω tel que P(A)= 3 8 ; P(B)= 1 2 ; P(A∩B)= 1 4 Determiner : P( ´ A) ; P(´ B) ; P(AUB) ; P( ´ A ∩ ´ B) ; P( ´ A U ´ B) Exercice 2 60% des habitants d’une ville ne portent ni la maladie A ni la maladie B. 20% portent la maladie A et 30% ont la maladie B. sachant que les deux événements A et B ne sont pas incompatible , si un habitant est choisi au hasard quelle est la probabilité qu’il porte :  La maladie A ou B  La maladie A et B Exercice 3 Une enquête effectuée auprès d'un grand nombre d’étudiants de l'Université a permis d'estimer qu'il y a une probabilité de 0.7 pour qu'un étudiant soit intéressée par l'informatique, 0.4 pour qu'il soit intéressé par les mathématiques ; 0.25 pour qu'il soit intéressé par ces deux matières.  Quelle est le probabilité qu'un étudiant :  Soit intéressé par l'info et pas par les maths ;  Soit intéressé par l'info ou par les maths ;  Ne soit pas intéressé ni par l'info ni par les maths. Exercice 4 On extrait au hasard 3 boules d’une boite contenant 6 boules rouges, 4 boules blanches et 5 boules bleues. Déterminer la probabilité d’avoir: a) 3 boules rouge b) une boule de chaque couleur c) aucune n’est blanche c) au moins une des trois est bleue d) Pas rouge e) Rouge ou blanche. Exercice 5 Un comité de 6 personnes doit etre choisi parmi 20 hommes et 15 femmes. Quelle est la probabilité qu’il se compose de  de 6 femmes  de 5 femmes et & hommes  d’au moins une femme et un homme Exercice 6 On lance 2 dés. Quelle est la probabilité d’avoir:  un double ?  un 2 et un 5 ?  une somme égale à 5 ? à7 ?  2 nombres qui se suivent ? Université des sciences et de la technologie M.B d’oran Département d’hydraulique M004 : Probabilités et statistiques TD N° 3 : Probabilité conditionnelle Exercice 1 Soit A et B deux événements independants tel que P(A)= 0,2 ; P(B)= 0,1 ; Determiner : P(A/B); P(B/A) ; P(A∩B); P(AUB) Exercice 2 Les 800 élèves d’un lycée sont répartis dans les classes de seconde, première ou terminale selon le tableau suivant : Seconde Première Terminale Total Externes 60 50 90 200 Internes 240 200 160 600 Total 300 250 250 800 1) On choisit un élève au hasard parmi les 800. Donner la probabilité des événements suivants : A : « il est externe » ; B : « il est en seconde » ; C : « c’est un élève de seconde externe ». 2) On choisit un élève au hasard parmi les internes. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit en seconde ? Exercice 3 110 élèves de terminale se répartissent de la façon suivante : Filles Garçons Pratiquant un sport 30 50 Ne pratiquant aucun sport 12 18 On choisit un élève au hasard parmi les 110. On a une situation d'équiprobabilité. On considère les événements suivants : F : "L'élève est une fille" ; G : " L'élève est un garçon" ; S : "L'élève pratique un sport" ; S : " L'élève ne pratique aucun sport". 1) Déterminer à l'aide du tableau les probabilités suivantes :  P(S) , P(F ∩S) , P(F/S) .  P(´ S) , P(G ∩ ´ S) , P(G/´ S) . Exercice 4 : Un sac contient 3 boules noires et 5 boules blanches indiscernables au toucher. On tire de façon aléatoire une boule, puis on la remet dans le sac. On tire à nouveau une boule. On note : N : « la boule tirée est noire » ; B : « la boule tirée est blanche ». Construire l’arbre pondéré associé à cette expérience. Exercice 5 : Pour engager des stagiaires, une entreprise organise des tests de sélection. Parmi les candidats qui se présentent aux épreuves il y a 60 % de garçons. Après avoir p ris connaissance des résultats aux tests, l’entreprise engage 70 % des garçons candidats et 80 % des filles candidates. Construire l’arbre pondéré On choisit au hasard un candidat qui s’est présenté aux épreuves. 1. Calculer la probabilité que le candidat choisi soit un garçon et qu’il soit engagé comme stagiaire. 2. Calculer la probabilité que le candidat choisi soit une fille et qu’elle soit engagée comme stagiaire. 3. Calculer la probabilité que le candidat choisi soit engagé. 4. Sachant que le candidat choisi a été engagé, calculer la probabilité que ce soit un garçon. Université des sciences et de la technologie M.B d’oran Département d’hydraulique M004 : Probabilités et statistiques TD N°4 : lois de probabilité Exercice 1 : Une variable aléatoire discontinue peut prendre les valeurs : 0, 1, 2 ,3 dont la loi de distribution est : a) Calculer a b) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type. c) Représenter graphiquement cette loi de probabilité. d) Déterminer et construire le graphe de la fonction de répartition. e) quelle est la probabilité de l’événement (x<2) Exercice 2 : On considère un dé rouge et un dé vert, cubiques, équilibrés. Le dé rouge comporte : deux faces numérotées -1 ; deux faces numérotées 0 ; deux faces numérotées 1. Le dé vert comporte : une face numérotée 0;trois faces numérotées 1;deux faces numérotées 2. On lance simultanément les deux dés. On note X la somme des points obtenus. 1) Déterminer la loi de probabilité de X. 2) Définir F, fonction de répartition de X et construire sa représentation graphique Exercice 3 : La variable aléatoire continue X de densité de probabilité K(4x-x2), est définie sur l’intervalle de : 0 à 4. 1. Déterminer la valeur de la constante K. 2. Représenter graphiquement la loi de probabilité correspondante. 3. Quelle est la fonction de répartition attachée à cette loi de probabilité ? Représenter graphiquement sa variation. Exercice 4 : Soit la fonction f définie sur [0,4] par f(x)=x/8 1. Vérifier que f peut être une densité de probabilité sur [0,4] 2. Déterminer la probabilité P (1≤x≤3 / x≥2) 3. Les événements 1≤x≤3 et x≥2 sont ils indépendants . X 0 1 2 3 P(X=xi ) 1/20 3/10 3/10 a Université des sciences et de la technologie M.B d’oran Département d’hydraulique M004 : Probabilités et statistiques TD N°5 : loi binomiale Exercice 1 On lance 8 fois de suite un dé à 6 faces parfaitement équilibré. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l'on a obtenu un nombre supérieur ou égal à 5. 1) Quelle loi suit X ? Donner les paramètres de cette loi 2) Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type Exercice 2 Une usine fabrique des composants électroniques dont 20% présentent des défauts. On considère un échantillon de 30 objets. 1) Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux? 2) Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux? 3) Quelle uploads/Science et Technologie/ td1-analyse-combinatoire.pdf