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ELEMENTS DE CALCUL DE PROBABILITE 1 Dr AKA Joseph Maître de Conférences Agrégé

ELEMENTS DE CALCUL DE PROBABILITE 1 Dr AKA Joseph Maître de Conférences Agrégé Département de Santé Publique Biostatistique et Informatique médicale Laboratoire de Biostatistique, Méthode et Informatique médicale UFR SMA / UFHB OBJECTIFS • Définir les classes d’évènements • Définir la probabilité • Estimer la probabilité d’un événement • Citer les applications médicales de la prob. 2 PLAN INTRODUCTION ET INTERETS I. NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE II. ANALYSE COMBINATOIRE III. DEFINITION DE LA PROBABILITE IV. CALCUL DE PROB D’UN EVENEMENT V. APPLICATIONS MEDICALES CONCLUSION 3 INTRODUCTION 1. Si l’on peut prédire peu de choses d’avance avec certitude, il n’en est pas de même pour nombreuses d’entre elles notion de Probabilité de survenue d’un évènement 2. Calcul de probabilité a pour objet l’étude des phénomènes aléatoires. Il est construit à partir d’axiomes fondamentaux 3. Triple Intérêts portant sur : • Le fondement théorique de la statistique inductive, • Les raisonnements médicaux, • La démarche diagnostic. 4 OBJECTIFS •Définir les classes d’événements • Définir la probabilité • Estimer la probabilité d’un événement • Citer les applications médicales de la probabilité 5 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (1/13) 1. RAPPEL DE DEFINITIONS • Modèle : ce qui sert de référence pour être reproduit (lois de probabilité, modèles mathématiques, etc.) • Modélisation : mise en équation d’un phénomène complexe ou non permettant d’en prévenir les évolutions (modélisations mathématiques, informatiques, industrielles, météorologiques, etc.) • Phénomène : fait/observation/évènement qui frappe par son caractère exceptionnel 6 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (2/13) 1. RAPPEL DE DEFINITIONS • Essai/Epreuve : processus de jeu, qui lorsqu’il est répété, génère un ensemble de résultats ou observations • Observation : résultat d’un essai lorsqu’il est expérimenté ou réalisé • Evènement : observation attendue. Les évènements constituent l’ensemble des observations disponibles au cours d’un essai/épreuve 7 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (3/13) 2. EVENTUALITE ET UNIVERS DES EVENTUALITES • Eventualité = un des résultats possibles lors d’une expérience/épreuve/essai • Univers des éventualités () = ensemble des résultats possibles lors d’une épreuve/essai.  est encore appelé ensemble fondamental ou référentiel 8 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (4/13)  EXEMPLES (UNIVERS DES EVENTUALITES) • Le lancer d’une pièce de monnaie • Le lancer d’un dé à 6 faces • Le lancer de 2 dés où X est la somme des faces obtenues La réponse nécessite des informations sur la pièce et le dé. Donner ces informations sur la pièce et le dé !!! 9 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (5/13) RESULTATS DES UNIVERS SUR CES EXEMPLES : •  = {pile, face} •  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} •  sera constitué de 11 éventualités = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 10 X 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (6/13) 3. NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE • Evènement = fait dont la description explicite les conditions de satisfaction de sa réalisation • Les conditions correspondent à une ou plusieurs éventualités • Evènement est aléatoire car le résultat de l’épreuve est lié au HASARD • Exemple du lancer de dé et la définition d’un événement E souhaité sur cette expérience (cf. polycopié) 11 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (7/13) Soit l’évènement E : « amener une face impaire » • Eventualités possibles = {1, 3, 5} Soit l’évènement E : «amener une face impaire ou la face 4 » • Eventualités possibles = {1, 3, 5, 4} Soit l’évènement E : « amener la face 1 » • Eventualité possible = {1} 12 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (8/13) DEFINIR 3 CLASSES D’EVENEMENTS PARTICULIERS 3.1- EVENEMENT CERTAIN = UNIVERS DES EVENTUALITES •  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3.2 - EVENEMENT IMPOSSIBLE •  3.3 - EVENEMENT SINGULIER ou ELEMENTAIRE • {1} 13 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (9/13) 4. ENSEMBLE DES PARTIES DE  : P() • Exemple du lancer d’une pièce de monnaie -  = {pile, face} - P() = (, pile, face, ) • Exemple du lancer d’un tétraèdre -  = {a, b, c, d} - P() constituées des sous ensembles de  : Quels sont ces sous ensembles ? Combien sont-ils ? 14 I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (10/13) • Exemple du lancer d’un tétraèdre • P() = (, {a}, {b}, {c}, {d}, …….., {b,c,d}, ) 15 Sous ensembles Nombre d’éventualités  {a}, {b}, {c}, {d} {a, b}, {a, c}, {a, d} ... {a, b, c}, {a, b, d} … {a, b, c, d} =  C 0 4 1 C 1 4 4  C 2 4 6  C 3 4 4  C 4 4 1    4 0 4 16 j j C I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (11/13) 5. DEFINITION DES CLASSES D’EVENEMENTS • Certain :  = {a, b, c, d} • Impossible :  • Singulier : {a} (incompatibles entre eux) • Contraire : si = {a, b} = {c, d} encore appelé complémentation 16 E 1 E1  I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (12/13) 5. DEFINITION DES CLASSES D’EVENEMENTS • Conjonction (ET noté ) : si = {a, b, c} et = = {a, d} = {a} • Réunion (OU noté ) : si = {a, b, c} et = {a, d} = {a, b, c, d} • Implication (inclusion notée ):si ={a, b, c} et = {a, b} 17 E 1 E2 E E 2 1  E 1 E2 E E 2 1  E 1 E2 E E 1 2   I - NOTION D’EVENEMENT ALEATOIRE ET DE PROBABILITE (13/13) 5. DEFINITION DES CLASSES D’EVENEMENTS • Incompatibles : si = {a, b} et = {c, d} =  ; leur réalisation simultanée est impossible • Indépendants (E1 et E2) : si réalisation de l’un ne dépend pas de l’autre événement • Dépendants (E1 et E2) : si réalisation de l’un dépend de l’autre événement 18 E 1 E2 E E 2 1  Exemple de la théorie de BOOLE A B A ou B A et B A B 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 19 • Georges BOOLE (1815-1864) −Physicien anglais −1847 : Algèbre de BOOLE −Raisonnement logique (fonctions logiques) II - ANALYSE COMBINATOIRE (1/7) • Reprenons l’exemple du lancer du tétraèdre -  = {a, b, c, d} - P() constituées des sous ensembles de  - Quels sont ces sous ensembles ? - Combien sont-ils ? 20 II - ANALYSE COMBINATOIRE (2/7) • Exemple du lancer du tétraèdre • P() = (, {a}, {b}, {c}, {d}, …….., {b,c,d}, ) 21 Sous ensembles Nombre d’éventualités  ? {a}, {b}, {c}, {d} ? {a, b}, {a, c}, {a, d} ... ? {a, b, c}, {a, b, d} … ? {a, b, c, d} =  ? II - ANALYSE COMBINATOIRE (3/7) • Exemple du lancer du tétraèdre • P() = (, {a}, {b}, {c}, {d}, …….., {b,c,d}, ) 22 Sous ensembles Nombre d’éventualités  {a}, {b}, {c}, {d} {a, b}, {a, c}, {a, d} ... {a, b, c}, {a, b, d} … {a, b, c, d} =  C 0 4 1 C 1 4 4  C 2 4 6  C 3 4 4  C 4 4 1    4 0 4 16 j j C II - ANALYSE COMBINATOIRE (4/7) •Analyse combinatoire aide au dénombrement direct des grands ensembles •Analyse combinatoire = outil important pour le calcul des probabilités grâce à l’Arrangement, à la Permutation et à la Combinaison 23 II - ANALYSE COMBINATOIRE (5/7) 1. Arrangement de n éléments pris j à j : • Selon ordre bien déterminé / • n! = n(n-1)(n-2)…….x 2 x 1 • 0! = 1 • Exemples +++ (polycopié) 24 A j n  ! ! j n n A j n   II - ANALYSE COMBINATOIRE (6/7) 2. Permutation de n éléments distincts : • Exemples +++ (polycopié) 25 Pn ! )! ( ! n n n n A P n n n     II - ANALYSE COMBINATOIRE (7/7) 3. Combinaison de n éléments pris j à j : - Sans considération d’ordre - A savoir : 26 C j n ! )! ( ! j j n n P A C j j n j n    C C C C C C C j n j n j j n j n j n n n n n          1 1 0 1 OBJECTIFS • Définir uploads/Sante/ 03-epss-2016-2017-elets-calculs-prob.pdf