OS, 07 février 2006 159 Roulement sans glissement sur plan incliné • Cylindre d
OS, 07 février 2006 159 Roulement sans glissement sur plan incliné • Cylindre de révolution roulant sans glisser: vA= 0 vG= R • Moment d’inertie: IG,y = k MR2 – k = nombre caractérisant la «forme», indépendamment de la masse et de la dimension • k=1/2 si cylindre homogène plein • k=1 si cylindre homogène vide A G F N Mg R x z = y ^ ^ ^ r L G = IG,y r , LG = IG,y = kMR2 vG R = kRMvG • Moment cinétique: Mr a G = Mr g + r N + r F MaG = Mg sin F 0 = 0 0 = N Mg cos d r L G dt = r M G 0 = 0 kRMaG = FR 0 = 0 N = Mg cos F = Mg sin k k +1 aG = g sin k +1 démo • Equations du mouvement: – Accélération aG ne dépend que de k, pas de M ni de R ! OS, 07 février 2006 160 Energie cinétique d’un solide • Pour un point A quelconque du solide: Ecin = 1 2mr v 2 = 1 2 m r v A + r AP ( ) 2 = 1 2Mr v A 2 + Mr v A r AG ( ) + 1 2 m r AP ( ) 2 1 2 m r AP ( ) 2 = 1 2 m r 2 AP 2 r AP ( ) 2 = 1 2 m i jijAP 2 i,j i j AP ( )i AP ( )j i,j = 1 2 i j m AP 2 ij AP ( )i AP ( )j i,j = 1 2 i j(˜ I A)ij i,j = 1 2 r r L A = 1 2 r ˜ I A r ( ) Ecin = 1 2Mr v A 2 + Mr v A r AG ( ) + 1 2 r ˜ I A r ( ) =0 si A=G (centre de masse) ou si vA=0 (point fixe) Au tableau Si rotation selon axe principal d’inertie par un point fixe: E cin = 1 2I2 OS, 07 février 2006 161 Roulement sans glissement sur pente • Energie cinétique (en utilisant le point A): • Energie cinétique (en utilisant le point G): • Energie mécanique totale: • Exemple: la force de frottement en A ne travaille pas ! (vA=0) E cin = 1 2IA,y2 = 1 2(IG,y +MR2)2 E cin = 1 2MvG 2 + 1 2IG,y2 = 1 2MR22 + 1 2IG,y2 E tot = E cin +E pot = 1 2IA,y2(t) +MgzG(t) = constante A G R = y ^ x ^ z ^ x ^ z ^ A G h vG=0 A G = y ^ vG = Rx ^ E tot = Mgh = 1 2IA,y2 = 2Mgh IA,y OS, 07 février 2006 162 Dynamique du solide avec axe fixe • Quand un axe de rotation est fixe (et qu’on ne s’intéresse pas aux forces et moments qui maintiennent cet axe fixe), il est utile de projeter le théorème du moment cinétique sur cet axe: – Pour tout point O sur l’axe de direction u • Exemple: pendule physique = solide soumis à la pesanteur et libre de se mouvoir autour d’un axe fixe horizontal d dt r L O = r M O ext d dt r L O ˆ u ( ) = r M O ext ˆ u d dt I ( ) = r r r F ext ( ) ˆ u I ˙ = r r , r F , ext ( ) ˆ u où r r , et r F , ext sont les composantes de r r et r F ext perpendiculaires à ˆ u ^ I ˙ = r r , m r g ( ) ˆ u I˙ ˙ = (r r G, Mr g ) ˆ u = L Mg sin ˙ ˙ = L Mg I sin O r r G r r G axe ˆ u L Mg G ˙ ˙ = g L sin pendule mathématique • Si toute la masse M est en G (I = ML2): démo OS, 07 février 2006 163 Dynamique du solide avec axe fixe (suite) • Solide libre de tourner autour d’un axe fixe passant par O • Centre de percussion: – point O’ sur la droite OG tel qu’un choc (percussion) appliqué en ce point (perpendiculairement à OG) n’engendre aucune réaction (répercussion) de l’axe de rotation sur le solide • Exemples et applications: – Marteau • où le tenir ? – Batte de baseball • où frapper la balle ? – Butée de porte O O’ G marteau clou force exercée par le clou sur le marteau aucune force nécessaire en O pour garder le point O fixe O’ G porte mur O butée gonds butée placée au centre de percussion: merci pour les gonds OS, 07 février 2006 164 Calcul du centre de percussion • Batte de baseball frappée par une balle avec une force F(t) au centre de percussion O’ par rapport à l’emplacement des mains en O: – Juste avant le choc (t=0): vG=0, =0 (batte au repos) – Juste après le choc (t=t): vG = d 0 O O’ G F(t) d d’ dr p dt = r F r p = r F (t) dt t =0 t MvG = F(t) dt t =0 t d r L G dt = r M G ext r L G = r M G ext(t) dt t =0 t IG = d' F(t) dt t =0 t MvGd'= IG IG = M dd' 1 12M L2 = IG = Mdd'= M L 2 d' d'= L 6 O’ G O L d=L/2 d’=L/6 • Démo: pendule physique interrompu dans sa course: – Point O à l’extrémité d’une barre mince homogène de masse M et de longueur L: OS, 07 février 2006 165 Axes en rotation: équations d’Euler • C = point fixe du solide (ou centre de masse) • = repère d’inertie au point C (lié au solide) • Théorème du moment cinétique par rapport à C, en composantes dans le repère d’inertie: d r L C dt = r M C ext Cˆ e 1ˆ e 2ˆ e 3 I1 ˙ 1 (I2 I3)23 = MC, 1 ext I2 ˙ 2 (I3 I1)31 = MC, 2 ext I3 ˙ 3 (I1 I2)12 = MC, 3 ext équations d’Euler équ. différentielles couplées pour 1(t), 2(t) et 3(t) Note : d r L C dt = r r L C i constants d r L C dt = ˙ L iˆ e i +L iˆ ˙ e i ( ) i = Ii ˙ iˆ e i +L i r ˆ e i ( ) i = Ii ˙ iˆ e i i + r r L C r L C = L iˆ e i i avec L i = Iii Ii = moments d'inertie principaux = I1˙ 1 I2 ˙ 2 I3 ˙ 3 + 1 2 3 I11 I22 I33 OS, 07 février 2006 166 Solide isolé en rotation libre • Par exemple, solide en chute libre: – Le centre de masse G suit une parabole (si on néglige les frottements) – On a • Cas particulier d’une rotation autour d’un axe proche de l’axe principal d’inertie e1: 2 << 1 et 3 << 1 – Equations d’Euler (où on a négligé 23): – 2(t) et 3(t) vont osciller autour de 0 (et donc rester petits) si et seulement si d r L G dt = 0 ^ I1 ˙ 1 = 0 I2 ˙ 2 (I3 I1)31 = 0 I3 ˙ 3 (I1 I2)12 = 0 uploads/Sante/ 07-fev-2006-2up-pdf 1 .pdf
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- Publié le Aoû 04, 2022
- Catégorie Health / Santé
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