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Modélisation, Discrétisation et Simulation Numérique Lyes DOUADJI Département d

Modélisation, Discrétisation et Simulation Numérique Lyes DOUADJI Département de Génie Électrique & d’Électronique (INELEC) Faculté Sciences l’Ingénieur Université de Boumerdès Modèle? & pourquoi modéliser? Qu'est-ce qu'un modèle ? Le principe d'un modèle est de remplacer un système complexe en un objet ou opérateur simple reproduisant les aspects ou comportements principaux de l'original (exemples : modèle réduit, maquette, modèle mathématique ou numérique, modèle de pensée ou raisonnement). Pourquoi faut-il modéliser ? Dans la nature, les systèmes et phénomènes physiques les plus intéressants sont aussi les plus complexes à étudier. Ils sont souvent régis par un grand nombre de paramètres non- linéaires interagissant entre eux (la météorologie, la turbulence des fluides...). Quels sont les différents modèles ? L'une des solutions est de recourir à une série d'expériences pour analyser les paramètres et grandeurs du système. Mais les essais peuvent s'avérer très coûteux (essais en vol, essais avec matériaux rares, instrumentations très chères...) et ils peuvent être très dangereux (essais nucléaires, environnement spatial...). Enfin il peut être difficile de mesurer tous les paramètres : échelles du problème trop petites (couche limite en fluide...) ou trop grandes (astrophysique, météorologie, géophysique...). Quels sont les différents modèles ? - Suite On peut aussi construire un modèle mathématique permettant la représentation du phénomène physique. Ces modèles utilisent très souvent des systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires dont on ne connaît pas de solutions analytiques en général. Il faut alors résoudre le problème numériquement en transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul (le maillage). Dans certains cas il s'agit de la seule alternative (nucléaire, astrophysique, spatial...). Dans d'autres cas, les simulations numériques sont menées en parallèle avec des expérimentations. De la modélisation à la simulation numérique Les différentes étapes de la modélisation • Recherche d'un modèle mathématique représentant la physique (Mise en équation). • Élaboration d'un maillage. Discrétisation des équations de la physique. • Résolution des équations discrètes (souvent systèmes linéaires à résoudre). • Transcription informatique et programmation des relations discrètes. • Simulation numérique et exploitation des résultats. Exemple Écoulement Stationnaire Incompressible sur une marche descendante 1/ Mise en équation Exemple -Suite 2/ Élaboration d'un maillage. Discrétisation des équations de la physique 3/Résolution des équations discrètes, Transcription informatique et programmation 4/ Simulation numérique et exploitation des résultats Notion de stabilité On distingue trois types de stabilité • La stabilité d'un problème physique. • La stabilité d'un problème mathématique. • La stabilité numérique d'une méthode de calcul. Stabilité d'un problème physique (système chaotique) Un problème est dit chaotique si une petite variation des données initiales entraîne une variation totalement imprévisible des résultats. Cette notion de chaos, liée à la physique d'un problème, est indépendante du modèle mathématique utilisé et encore plus de la méthode numérique utilisée pour résoudre ce problème mathématique. De nombreux problèmes sont chaotiques, par exemple la turbulence des fluides. Stabilité d'un problème mathématique (sensibilité) Un problème est dit très sensible ou mal conditionné si une petite variation des données ou des paramètres entraîne une grande variation des résultats. Cette notion de conditionnement, liée au problème mathématique, est indépendante de la méthode numérique utilisée pour le résoudre. Pour modéliser un problème physique qui n'est pas chaotique, on construira un modèle mathématique qui sera le mieux conditionné possible. Stabilité d'une méthode numérique Un problème peut être bien conditionné alors que la méthode numérique choisie pour le résoudre est instable. Dans ce cas, il est impératif de changer de méthode numérique. Par contre, si le problème de départ est mal conditionné, aucune méthode numérique ne pourra y remédier. Il faudra alors essayer de trouver une formulation mathématique différente du même problème, si on sait que le problème physique sous-jacent est stable. Loi de Moore Gordon Moore, cofondateur de la société Intel a affirmé en 1965 pour une conférence de presse, que "le nombre de transistors par circuit de même taille va doubler tous les 18 mois Discrétisation des EDP La discrétisation est le passage d'une problème exact continu régit par une EDP au problème approché discret, il existe trois grandes familles de méthodes : • Les différences finies. • Les volumes finis. • Les éléments finis. Introduction à la Méthode des différences finies Méthode des différences finies Dans le domaine de l'analyse numérique, on peut être amené à rechercher la solution d'une équation aux dérivées partielles. Parmi les méthodes de résolutions couramment pratiquées, la méthode des différences finies est la plus facile d'accès. Elle est due aux travaux de plusieurs mathématiciens du 18ème siècle (Euler, Taylor, Leibniz...). Approximation des opérateurs Grâce aux formules de Taylor, on définit la discrétisation des opérateurs différentiels (dérivées premières, secondes, etc). Formules de Taylor Si ∆x est petit, un développement de Taylor de u(x + ∆x, y, z, t) au voisinage de x donne : En tronquant la série au premier ordre en ∆x, on obtient : Soit u(x; y; z; t) une fonction de l'espace et du temps. Par définition de la dérivée, on a Notation indicielle - cas 1D • Considérons un cas monodimensionnel où l'on souhaite déterminer une grandeur u(x) sur l'intervalle [0,1]. La recherche d'une solution discrète de la grandeur u amène à constituer un maillage de l'intervalle de définition. On considère un maillage (ou grille de calcul) composé de N + 1 points xi pour i= 0,….,N régulièrement espacés avec un pas ∆x. Les points xi = i ∆x sont appelés les noeuds du maillage. • Le problème continu de départ de détermination d'une grandeur sur un ensemble de dimension infinie se ramène ainsi à la recherche de N valeurs discrètes de cette grandeur aux différents noeuds du maillage. Notation: On note ui la valeur discrète de u(x) au point xi, soit ui = u(xi) De même pour la dérivée de u(x) au noeud xi, Notation indicielle - cas 1D - Suite Le schéma aux différences finies d'ordre 1 précédente s'écrit :Ce schéma est dit "avant" ou "décentré avant" ou upwind. Il est possible de construire un autre schéma d'ordre 1, appelé "arrière" : Schéma d'ordre supérieur Des schémas aux différences finies d'ordre supérieur peuvent être construits en manipulant des développement de Taylor au voisinage de xi. On écrit : La soustraction de ces deux relations donne : Ce qui permet d'obtenir le schéma d'ordre deux dit "centré" pour approximer la dérivée première de u : Schéma d'ordre supérieur Pour obtenir des ordres supérieurs, il faut utiliser plusieurs noeuds voisins de xi Par exemple, un schéma aux différences finies d'ordre 3 pour la dérivée première s'écrit : Dérivée d'ordre supérieur Le principe est identique et repose sur les développements de Taylor au voisinage de xi. Par exemple pour construire un schéma d'approximation de la dérivée seconde de u, on écrit : En faisant la somme de ces deux égalités, on aboutit à : Ce qui permet d'obtenir le schéma d'ordre deux dit "centré" pour approximer la dérivée seconde de u : Dérivée d'ordre supérieur -Suite Il existe aussi une formulation "avant" et "arrière" pour la dérivée seconde, toute deux d'ordre 1 : Il est également possible de construire, par le même procédé, des schémas aux différences finies d'ordre supérieur pour les dérivées deuxième, troisième, etc... Quelques schémas en 1D Différences finies avant, ordre 1 Différences finies arrière, ordre 1 Différences finies centré, ordre 2 Différences finies centré, ordre 4 Dérivées croisées (2 variables) Déterminons une approximation de la dérivée croisée de la fonction de 2 variables f(x; y). La discrétisation du domaine de calcul est bidimensionnelle et fait intervenir deux pas d'espace supposés constants ∆x et ∆y dans les directions x et y. La principe est toujours basé sur les développements de Taylor : Dérivées croisées Au voisinage du point (i, j) : En effectuant une combinaison linéaire des quatre équations précédentes ((1)+(2)- (3)-(4)), nous obtenons une approximation de la dérivée croisée à l'ordre 1 : Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet Considérons l'équation différentielle suivante : où f est une fonction continue. ∆x xi+1 xi L'équation à résoudre s'écrit, sous forme discrète en chaque noeud xi : Approximons la dérivée seconde de u au moyen d'un schéma centré à l'ordre 2 : Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet -Suite L'équation discrétisée est ainsi : ; pour i variant de 1 à N-1 Il est très pratique d'utiliser une formulation matricielle en faisant apparaître le vecteur des inconnues discrètes : Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet- Neumann Considérons l'équation différentielle suivante : où l'on a cette fois une condition de Neumann en x = 1. Une approximation d'ordre 1 de: Discrétisation de l'équation de la chaleur 1D Considérons le problème monodimensionnel de la conduction de la chaleur dans une barre de 1m de longueur. Le champ de température T(x; t) vérifie l'équation de la chaleur : où α est la diffusivité thermique. A cette EDP s'ajoute deux conditions aux limites aux extrémités de la barre T(0;t)=Tg et T(1; t) = Td ainsi qu'une condition initiale T(x; 0) = T0. L'intervalle [0,1] est discrétisé en N +1 noeuds de coordonnées xi (i variant de 0 uploads/Sante/ cours-1-introduction-aux-differences-finies.pdf