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Cours 12 - Cinématique d’un Point d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI

Cours 12 - Cinématique d’un Point d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 1 sur 5 (1) la dynamique sera vu en 2ème année PSI et MP (2) cette notion a été vue cours 09 Cinématique d’un Point d’un Solide Exemple de Système Mécanique MANEGE MAGIC ARMS Bras 1 Bras 2 Nacelle 3 Modèle Système réel O1 O2 O3 O3 P 1 x  x 2 z  x 1 y  x 0 / 3 P  ? 0 x  x 3 z  x 0 y  x 2 x  x 1 x  x 2 y  x 2 x  x 3 x  x 2 3 1 α β  0 Le manège Magic-Arms est composé d’une structure métallique d’environ 12 m de haut avec deux bras mobiles. Les passagers s’assoient sur 39 sièges disposés sur une plate-forme tournante. Dès que tous les passagers sont assis et attachés, la nacelle tourne autour de son axe, le bras principal (bras 1) et le bras secondaire (bras 2), liés l’un à l’autre au début du cycle, commencent à tourner. Après 9 secondes, le maximum de hauteur est atteint et les deux bras se désindexent et se mettent à tourner indépendamment l’un de l’autre. Tous les mouvements sont pilotés par un ordinateur. La mécanique du solide a pour objet l'étude des lois du mouvement ou d’équilibre des systèmes mécaniques constituant les systèmes complexes. La cinématique est la discipline qui permet l’étude de ces lois du mouvement. Le calcul de la vitesse trouve son utilité par exemple dans l’écriture d’une loi d’entrée sortie cinématique de mécanisme. L’accélération est une notion qui intervient dans l’écriture du principe fondamental de la dynamique (1) afin d’établir le lien entre le mouvement d’un système et les efforts qu’il subit. 1 - RAPPELS DE NOTIONS DE PHYSIQUE UTILES POUR LA SUITE 1.1. Référentiel (2) On se place dans un système de référence constitué du temps et d’un espace physique. Le temps (t) permet de repérer tout instant par la date. L’espace physique est associé à un espace affine euclidien  de dimension 3 dans lequel on définit : - O : un point de  pris comme origine, - E : espace vectoriel réel associé à  muni d’une base b orthonormée directe (sauf mention contraire explicitement rarissime), - R(O, b) : un repère de l’espace . 0 t1 t2 t (1) (2) O z  y  x  Base : (x , y , z ) Repère : R(O,x , y , z ) Instant = point du repère Date = abscisse de l’instant Cours 12 - Cinématique d’un Point d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 2 sur 5 1.2. Trajectoire et vecteur position d’un point Soit S(t,) un système de référence et P un point mobile par rapport à . P(t) est la position de P dans  à la date t. La trajectoire (C) de P dans  entre les instants t1 et t2 est l’ensemble des points P(t) quant t décrit [t1, t2]. On définit le vecteur position du point P dans  par le vecteur OP où O est le point de  pris comme origine. x  z  y  O P (C) 1.3. Vecteur vitesse d’un point La vitesse du point P par rapport au référentiel S(t,) à la date t est par définition : ) t ( OP dt d ) t , S / P ( V E        O point de  pris comme origine. x  z  y  O P (C) ) t , S / P ( V  ) t , S / P ( V « est tangente » en P(t) à la trajectoire de P dans .  Usuellement, on utilise la notation fonctionnelle et on écrit indifféremment : ) S / P ( V , ) / P ( V  ou ) R / P ( V = b OP dt d       ,        OP dt d ou R OP dt d       1.4. Vecteur accélération d’un point L’accélération du point P par rapport au référentiel S(t,) à la date t est par définition : ) t ( ) t , S / P ( V dt d ) t , S / P ( E         2 - VECTEURS VITESSE ET ACCELERATION D’UN POINT D’UN SOLIDE 2.1. Vecteur vitesse d’un point d’un solide On note le vecteur vitesse du point P du solide (S) par rapport à R : R / S P V  ou R / S , P V Si P a une réalité physique sur le solide (S) : R R / S P OP dt d ) R / P ( V V    avec O point fixe de R. R / S P V  est différent de ) R / P ( V si P n’a pas de réalité physique sur le solide (S). s z  x s y  x Os x  z  y  O S P R / S P V  R Rs s x  x R / S P  Le calcul du vecteur vitesse d’un point d’un solide par cette méthode peut être appelé « calcul direct » dans le jargon du mécanicien. 2.2. Vecteur accélération d’un point d’un solide On note le vecteur accélération du point P du solide (S) par rapport à R : R / S P  ou R / S , P  Si P a une réalité physique sur le solide (S) : R R / S P ) R / P ( V dt d ) R / P (     avec O point fixe de R. R / S P  est différent de ) R / P (  si P n’a pas de réalité physique sur le solide (S). Cours 12 - Cinématique d’un Point d’un Solide Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 3 sur 5 Pour calculer des vecteurs vitesse et accélération d’un point d’un solide il est indispensable de maitriser la dérivation vectorielle !! 3 - VECTEUR VITESSE INSTANTANE DE ROTATION 3.1. Définition On appelle 1 2 R / R  le vecteur vitesse instantané de rotation de R2 par rapport à R1. 1 2 R / R  quantifie :  Par sa direction, la direction de l’axe autour duquel R2 tourne autour de R1.  Par sa norme, la vitesse angulaire avec laquelle se fait cette rotation (unité : rad/s).  Par son sens, le sens dans lequel se fait cette rotation. Ce n’est pas le sens de la flèche du paramètre angulaire 12  qui définit le sens de rotation de R2 par rapport à R1 :  Cas 1 : 12  > 0 et 12  > 0 → 1 2 R / R  est de même sens que 1 z   Cas 2 : 12  > 0 et 12  < 0 → 1 2 R / R  est de sens opposé à 1 z  12 1 z = 2 z  1 x  1 y  2 y  2 x  Sens de rotation 1 2 R / R  12 1 z = 2 z  1 x  1 y  2 y  2 x  Cas 1 Cas 2 Sens de rotation 1 2 R / R  2 12 1 12 R / R z . z . 1 2          . 3.2. Notion de composition des vecteurs vitesse instantané de rotation Soit deux vecteurs vitesse instantané de rotation 1 R / R z . 1      et 1 R / R x . 1 2      . On montre que R / R R / R R / R 1 1 2 2      soit 1 1 R / R z . x . 2           z = 1 z  1 y  y  1 x   1 z  1 y  2 z  2 y  1 x = 2 x  x  4 - LA DERIVATION VECTORIELLE, OUTIL INDISPENSABLE DU MECANICIEN ! Les vecteurs vitesse et accélération d’un point sont issus de la dérivée temporelle du vecteur position de ce point. Or le calcul de la dérivée temporelle d’un vecteur variable dans le temps n’est pas aussi simple que celle d’une quantité scalaire. 4.1. Vocabulaire La base dans laquelle on exprime les composantes d’un vecteur est appelée base de projection. La base dans laquelle est effectuée la uploads/Sante/ cours-12.pdf