Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSITE DE FIANARANTSOA FACULTE DES SCIENCES MENTION : PHYSIQUE ET APPLICATI

UNIVERSITE DE FIANARANTSOA FACULTE DES SCIENCES MENTION : PHYSIQUE ET APPLICATIONS PHYSIQUE STATISTIQUE COURS ET TRAVAUX DIRIGES S7 PHYSIQUE DOCTEUR ANDRIAZAFIMAHAZO LAHINIRINA FRIDOLIN ANNEE UNIVERSITAIRE : 2019 - 2020 S7 PHYSIQUE AVANT-PROPOS PHYSIQUE STATISTIQUE I AVANT-PROPOS Dans ce cours, on propose une introduction à la physique statistique des systèmes à l’équilibre. Par système à l’équilibre, on entend un système dont les propriétés physiques n’évoluent plus dans le temps à l’échelle macroscopique. A cette échelle, les états d’équilibre sont caractérisés par un petit nombre de variables appelées variables d’état. Ces variables ne sont pas toutes indépendantes, mais reliées entre elles par des relations fonctionnelles. La célèbre équation d’état du gaz parfait : PV=NRT (1) est un exemple d’une telle relation qui associe les variables d’état, pression, densité et température. Il est remarquable que la thermodynamique physique macroscopique ait été capable d’établir phénoménologiquement de telles relations, à une époque où la structure atomique de la matière était inconnue. Nous sommes désormais convaincus que toutes les propriétés physiques observées à notre échelle dépendent en dernière analyse de la dynamique microscopique des constituants élémentaires de la matière. L’objet de la physique statistique est d’établir les relations existant entre les variables macroscopiques, à partir des équations qui régissent le comportement de la matière à l’échelle microscopique. Les états d’équilibre sont des états asymptotiques. On entend par là qu’un système initialement perturbé, qu’on laisse ensuite évoluer librement, finit toujours par revenir à un de ces états d’équilibre sur des échelles de temps plus ou moins longues. L’étude de l’origine microscopique - donc dynamique - des mécanismes de retour à l’état d’équilibre est l’objet de la physique statistique des systèmes hors de l’équilibre. Les notes qui suivent n’ont pas été rédigées pour se substituer au cours, mais au contraire pour vous permettre, lors d’une deuxième lecture, d’identifier clairement les points importants. Dans cet esprit, un certain nombre de calculs intermédiaires ne sont pas reportés dans ces notes mais seront effectués en cours. Afin de ne pas rompre l’enchaînement des idées physiques, les quelques difficultés de nature calculatoire ont été volontairement traitées d’emblée dans le premier chapitre introductif constituant les compléments mathématiques nécessaires pour suivre ce cours. Le deuxième chapitre contient l’essentiel du formalisme de la physique statistique. Les notions importantes sont celles d’entropie statistique, d’espace des phases, de micro et macro états et de limite thermodynamique. On montre comment les distributions d’équilibres peuvent être obtenues à partir du seul principe d’entropie maximale. S7 PHYSIQUE AVANT-PROPOS PHYSIQUE STATISTIQUE II Ce formalisme est mis en œuvre dans les trois chapitres suivants dans le cadre des ensembles dits micro-canonique, canonique et grand canonique, qui correspondent chacun `a des contraintes macroscopiques différentes appliquées au système étudié. Le chapitre qui suit traite l’extension du cas important des gaz parfaits quantiques. Le traitement quantique conduit aux différentes statistiques quantiques couramment utilisées dans les applications (statistiques de Fermi-Dirac, Bose-Einstein et Planck). Enfin, le dernier chapitre est une introduction aux transitions de phase exposée dans le cadre du magnétisme. S7 PHYSIQUE SOMMAIRE PHYSIQUE STATISTIQUE III SOMMAIRE CHAPITRE 1 : COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES 1.1. MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE 1 1.2. TRANSFORMATION DE LEGENDRE 3 1.2.1. DEFINITION 3 1.2.2. EXEMPLE 4 1.3. APPROXIMATION DE STIRLING 5 1.4. INTEGRALES GAUSSIENNES 7 1.5. VOLUME D‟UNE HYPERSPHERE EN DIMENSION QUELCONQUE 9 1.5.1. DEFINITION 9 1.5.2. VOLUME D‟UNE HYPERSPHERE EN DIMENSION QUELCONQUE 9 1.6. PROBABILITES 10 1.6.1 RAPPELS ELEMENTAIRES SUR LES PROBABILITES 10 1.6.2. DENOMBREMENT 12 1.6.3. LOIS DE PROBABILITES 13 1.6.3.1. LOIS DE PROBABILITES DISCRETES 13 1.6.3.2. LOI BINOMIALE 14 1.6.4. LOIS DE PROBABILITE CONTINUES 14 1.6.4.1. DEFINITION 14 1.6.4.2. DISTRIBUTION NORMALE OU GAUSSIENNE 15 1.6.5 MOMENTS D‟UNE LOI DE PROBABILITE 16 CHAPITRE 2 : FORMALISME DE LA PHYSIQUE STATISTIQUE 2.1. LA PHYSIQUE STATISTIQUE ET SES ENJEUX 18 2.2. MICRO-ETATS ET MACRO-ETATS 19 2.3. ESPACE DES PHASES ET DENSITE D‟ETATS 21 2.3.1. DEFINITION DE L‟ESPACE DES PHASES 21 2.3.2. LA DENSITE DES ETATS DANS L‟ESPACE DES PHASES 21 2.3.3. DEFINITION DE LA FONCTION DE PARTITION 23 2.3.4. CALCUL DES GRANDEURS PHYSIQUES 23 2.3.4.1. MOYENNE D‟ENSEMBLE (GIBBS) 23 2.3.4.2. HYPOTHESE ERGODIQUE 24 S7 PHYSIQUE PROGRAMME PHYSIQUE STATISTIQUE IV 2.4. LES ENSEMBLES STATISTIQUES A L‟EQUILIBRE 24 2.4.1 LIMITE THERMODYNAMIQUE 24 2.4.2. LES ENSEMBLES D‟EQUILIBRE 25 2.5. ENTROPIE STATISTIQUE 26 2.5.1. DEFINITION DE L‟ENTROPIE STATISTIQUE 26 2.5.2. PROPRIETES 29 2.5.3. PASSAGE DE L‟ENTROPIE STATISTIQUE A L‟ENTROPIE THERMO 32 2.6. POSTULAT D‟ENTROPIE MAXIMALE 33 CHAPITRE 3 : ENSEMBLE MICROCANONIQUE 3.1. DISTRIBUTION ET FONCTION DE PARTITION MICROCANONIQUES 34 3.2. POTENTIEL THERMODYNAMIQUE MICROCANONIQUE 35 3.3. SYSTEMES CLASSIQUES MICROCANONIQUES 37 3.3.1. FONCTION DE PARTITION DES SYSTEMES CLASSIQUES 37 3.3.2. GAZ PARFAITS CLASSIQUES 40 CHAPITRE 4 : ENSEMBLE CANONIQUE 4.1. DISTRIBUTION ET FONCTION DE PARTITION CANONIQUE 44 4.2. ENTROPIE D‟EQUILIBRE 46 4.3. SYSTEMES CLASSIQUES 48 4.3.1. FONCTION DE PARTITION CANONIQUE DES SYSTEMES CLASSIQUES 48 4.3.2. DENSITE D‟ETATS ET LIMITE CONTINUE 50 4.4. POTENTIEL THERMODYNAMIQUE 52 4.5. THEOREME D‟EQUIPARTITION DE L‟ENERGIE (SYSTEMES CLASSIQUES) 53 CHAPITRE 5 : ENSEMBLE GRAND CANONIQUE 5.1. ENTROPIE D‟EQUILIBRE ET GRANDE FONCTION DE PARTITION 56 5.2. GRAND POTENTIEL THERMODYNAMIQUE 58 5.3. GRAND POTENTIEL THERMODYNAMIQUE 59 5.4. LE GAZ PARFAIT DANS LE CADRE GRAND-CANONIQUE 60 5.5. AUTRES ENSEMBLES 62 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 63 S7 PHYSIQUE CHAPITRE 1 PHYSIQUE STATISTIQUE 1 CHAPITRE 1 COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES L’objet de la méthode statistique est la réduction des données. Une masse de données doit être remplacée par un petit nombre de quantités représentant correctement cette masse, et contenant autant que possible la totalité de l’information pertinente contenue dans les données d’origine. 1.1. MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE Considérons une fonction f de n variables indépendantes : f(x1, …, xn). Sa différentielle au point x Ξ (x1, …, xn) s‟écrit : df= f x1 dx1 … f xn dxn (1.1) Une condition nécessaire pour que la fonction f possède un extremum (Maximum ou minimum) au point x = 0 est que df = 0, soit : f x1 =…= f xn =0 (1.2) Supposons maintenant qu‟il existe une contrainte entre les variables x1, …, xn ; autrement dit, il existe une certaine relation fonctionnelle g(x1,…,xn)=0 (1.3) Entre ces variables. Cette relation montre qu‟une des variables, disons xn dépend des n - 1 autres. Il n‟y a donc plus n variables indépendantes, mais seulement n – 1. Ainsi, les conditions d‟extrémalisation données par (1.2) ne sont pas valables en présence d‟une contrainte. Une première solution évidente consiste, lorsque cela est possible, à exprimer une des variables en fonctions des n - 1 autres, à substituer son expression dans f, puis à écrire les conditions d‟extrémalisation (1.2) sur les n – 1 variables restantes. S7 PHYSIQUE CHAPITRE 1 PHYSIQUE STATISTIQUE 2 EXEMPLE 1 Soit à déterminer le rectangle d‟aire maximale pour un périmètre donné. Avec des notations évidentes, on a L(x, y) = 2(x + y) et S(x, y) = xy. En éliminant y entre ces 2 équations, on obtient S(x) = x(L/2 – x), x étant maintenant une variable non contrainte. La condition Sx = 0 conduit à la relation L/2 – 2x = 0, et donc à la solution x = y = L/4, c‟est-à-dire, à un carré. Un autre procédé plus général a été proposé par Lagrange. L‟idée consiste à absorber la contrainte dans la définition d‟une nouvelle fonction. Soit en effet la fonction f ± λg où λ est un paramètre appelé MULTIPLICATEUR DE LAGRANGE. Il s‟agit d‟une fonction des n variables indépendantes (x1, …, xn) puisqu‟aucune contrainte extérieure ne s‟applique désormais sur les variables. On peut donc écrire directement : d(f ± λg)=0 f xi ±λ g xi =0, i=1,….,n (1.4) Ces n équations et la contrainte g = 0 déterminent donc les n + 1 inconnues x1, …, xn, λ. EXEMPLE 2 Reprenons l‟exemple précédent. On a f(x, y) = xy et g(x, y) = L – 2(x + y) = 0. L‟extremum de f est déterminé par les 2 relations fx λgx = 0 et fy λgy = 0, soit y - 2λ = x - 2λ = 0, qui conduit bien à la solution x = y. THEOREME 1 Soient f et g deux fonctions C1 définies sur . On suppose en outre qu’il existe i tel que ∂g/∂xi ≠ 0. Un extremum (maximum ou minimum) de la fonction f soumise à la contrainte g(x1,…,xn) = 0 est déterminé (s’il existe) par les (n + 1) équations : , f xi ±λ g xi =0, i=1,….,n g(x1, , xn)=0 (1.5) Où λ est un paramètre réel appelé multiplicateur de Lagrange. En introduisant autant de multiplicateurs qu‟il y a de contraintes, on généralise ce procédé au cas des fonctions soumises à plusieurs contraintes. S7 PHYSIQUE CHAPITRE 1 PHYSIQUE STATISTIQUE 3 1.2. TRANSFORMATION DE LEGENDRE Il est bien connu qu‟une courbe dans le plan y = f(x) est parfaitement définie dès lors que sa fonction dérivée f‟ est connue en tout point x. On rencontre un certain nombre de situations en physique et en mathématique où la donnée naturelle du problème étudié est la dérivée f‟(x) plutôt que la variable x elle-même. La transformation de Legendre est un moyen systématique qui permet de définir, sans perte d‟information, une nouvelle fonction dont uploads/Sante/ cours-physique-statistique01.pdf