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EXERCICES DE PROBABILITES Exercice 1 : La probabilité qu’un patient se rétablis

EXERCICES DE PROBABILITES Exercice 1 : La probabilité qu’un patient se rétablisse d’une certaine maladie rare est de 0,4. Si 15 personnes ont été touchées par cette maladie, quelle est la probabilité que : 1) Au moins 12 personnes survivent ? 2) Entre 8 et 10 personnes survivent ? 3) Exactement 4 personnes survivent ? Exercice 2 : Un médecin éminent déclare que 60 % des patients ayant le cancer du poumon ont pour cause la cigarette. Si cette déclaration est confirmée, trouver la probabilité que : a) Parmi les 14 patients récemment hospitalisés, moins de la moitié fument. b) Parmi les 8 patients récemment hospitalisés, plus de la moitié fument. Exercice 3 : On sait que 70 % des souris vaccinées sont protégées contre une certaine maladie. Si 6 souris ont reçu ce vaccin, trouver la probabilité que : 1) Aucune souris ne contracte cette maladie. 2) Moins de 2 souris contractent cette maladie. 3) Plus d’une souris contractent cette maladie. 4) Exactement une souris contracte cette maladie. Exercice 4 : Dans un service de réanimation, chaque nuit (entre 1 heure et 5 heures), le nombre de malades nécessitant l’intervention du médecin de garde est en moyenne 5. Ce nombre d’intervention est supposé suivre la loi de Poisson. Quelle est la probabilité que : 1) Le médecin de garde n’ait aucun appel ? 2) Le médecin de garde ait au moins 2 appels ? Exercice 5 : La teneur en glucose dans le sang (glycémie) des sujets d’une population donnée est supposée distribuée suivant une loi normale de valeur moyenne m = 1 g et d’écart type = 0.2 g.  1) Quelle est, pour un individu, la probabilité d’avoir une glycémie comprise entre 0.70 g et 1.22 g ? 2) Pour 1000 personnes examinées combien en moyenne auront une glycémie comprise entre les valeurs précédentes ? Exercice 6 : Page 1 sur 4 La probabilité qu’un patient se rétablisse d’une rare maladie sanguine est de 0,4. Si 100 personnes ont contracté cette maladie, quelle est la probabilité que moins de 30 patients survivent. Exercice 7: On évalue les niveaux de dépression au moyen du test Inventaire Multiphasique de la Personnalité (MMP). Au vu du nombre important de questions, on considère que quand on fait passer ce test à un individu choisi au hasard, son score suit une loi normale. De plus le MMP est normalisé pour avoir une moyenne μ = 50 et un écart-type σ = 10. Si l'on considère qu'une note supérieure à 70 traduit un état pathologique, combien s'attend-on à trouver de personnes pathologiquement dépressives sur un ensemble de 50000 personnes ? Exercice 8: La proportion des enfants qui réussissent parfaitement une épreuve graphique d'organisation perceptive est de 60%. On choisit au hasard (avec remise) un échantillon de n individus et on note X la variable aléatoire égale au nombre d'enfants dans l'échantillon qui réussissent l'épreuve. 1) On prend n = 28. Préciser la loi de probabilité de X et calculer la probabilité : P[15 ≤ X ≤ 18]. 2) On prend n = 280. a) On peut approcher la loi de X par une loi normale. Justifier et préciser laquelle. Dans la suite, si vous utilisez cette approximation, il faudra faire une correction de continuité. b) Calculer les probabilités P[X ≥ 180] et P[150 ≤ X ≤ 185]. Exercice 9: On considère que le nombre de potentiels d'action (PA) émis en une minute par un neurone au repos suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 10. 1) Quelle est la probabilité pour qu'un neurone émette plus de 110 PA en 1 mn s'il n'est pas activé ? 2) Quelle est la probabilité pour qu'un neurone émette moins de 80 PA en 1 mn s'il n'est pas activé ? 3) Quelle est la probabilité pour qu'un neurone émette entre 90 et 110 PA en 1 mn s'il n'est pas activé ? 4) Un neurone émet plus de 150 PA en une minute. Selon vous, est-il plus vraisemblable que ce neurone était activé ou au repos lors de l'enregistrement ? Justifiez votre réponse. Exercice 10: Calculer l’espérance mathématique et la variance d’une variable aléatoire gaussienne X sachant que : P(X ≤ 2) = 0, 5793 et P(X > 5) = 0,2119 Page 2 sur 4 Exercice 11: On suppose que la taille de 615 étudiants est distribuée normalement avec une moyenne de 1,75 m et un écart-type de 20 cm. Calculer le nombre d’étudiants ayant des tailles : - inférieures ou égales à 1,50 m - comprises entre 1,50 m et 1,65 m - supérieures ou égales à 2 m. Exercice 12: On suppose que la glycémie est distribuée normalement dans la population, avec une moyenne de 1 g/l et un écart-type de 0,03 g/l. On mesure la glycémie chez un individu. Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit : a) inférieure à 1,06 ; b) supérieure à 0,9985 ; c) comprise entre 0,94 et 1,08 Exercice 13: Calculer l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire normale X sachant que : P (X 2) = 0,5793 et P (X > 5) = 0,2119. Exercice 14: La probabilité pour qu’un individu ait une mauvaise réaction à l’injection d’un certain sérum est de 0,001. Déterminer la probabilité pour que sur 2000 individus : a) 3 individus aient une réaction dangereuse. b) Plus de 2 individus aient une réaction dangereuse. A justifier la loi de probabilité utilisée Exercice 15: L’expérience a montré que 0,3 % de la population active nationale a été atteinte d’une maladie grave durant une année. Si on choisit 1000 individus d’une manière aléatoire parmi cette population active nationale, quelle est la probabilité pour que : a) 5 ouvriers soient atteints de cette maladie durant une année. b) Au moins 5 ouvriers soient atteints de cette maladie durant une année. c) Au plus 4 ouvriers soient atteints de cette maladie durant une année. Exercice 16: On a mesuré la masse de 3000 hommes. On a trouvé une moyenne de 65 kg et un écart-type de 3 Kg. En supposant que la variable « masse » suit une loi normale. Déterminer le nombre d’individus ayant une masse comprise entre 60 et 70 kg. Page 3 sur 4 Exercice 17: Si les âges d’un groupe d’individus sont distribués suivant une loi normale de moyenne 41 ans et d’écart-type de 8 ans. Quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : a) Moins de 53 ans ? b) Entre 25 et 49 ans ? Page 4 sur 4 uploads/Sante/ exercices-de-probabilites.pdf