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Comment déterminer l’heure d’un crime grâce aux mathématiques Lors d’une enquêt

Comment déterminer l’heure d’un crime grâce aux mathématiques Lors d’une enquête criminelle, il est capital d'estimer le plus précisément possible l'heure de la mort, aussi appelée le délai post-mortem. En effet, son calcul peut contribuer à accuser ou disculper un suspect, selon sa présence ou son absence à proximité du lieu du crime à l’heure présumée du décès. C’est pourquoi nous verrons ici comment déterminer ce délai post- mortem grâce à différentes techniques mathématiques. Pour cela, nous verrons dans un premier temps la méthode thermométrique et le principe du nomogramme de Henssge, qui est inchangé depuis 1988. Puis, nous modéliserons le refroidissement du corps d’abord par une suite mathématique puis par une fonction. Lorsqu’un organisme meurt, le phénomène de régulation disparaît et la température du corps va progressivement s'aligner sur la température ambiante. Par le passé, des simplifications abusives ont été faites et on pensait que la vitesse de refroidissement d’un corps était de 1 °C par heure pendant les 24 premières heures, un modèle que l’on pourrait assimiler à une fonction linéaire. Or on sait aujourd’hui que la baisse de température s'effectue en trois phases distinctes: • Une première phase dite de plateau thermique initial qui dure de 30 minutes à 3h selon les individus: pendant cette période et pour des raisons encore mal connues aujourd’hui, la température du cadavre baisse très peu. • Une phase intermédiaire de décroissance rapide qui dure de 3 à 18h durant laquelle la méthode thermométrique se révèle la plus efficace. • Une phase terminale de décroissance lente où la température du corps finit par s’égaliser très progressivement avec celle du milieu ambiant. A partir de cette phase, la datation par thermométrie n'est malheureusement plus utilisable. C’est le docteur Claus Henssge, un professeur de médecine légale à l'université de Essen en Allemagne qui a cherché en 1988 à modéliser la décroissance thermique sous la forme d’une égalité mathématique (présente sur votre feuille). Pour cela, il fait intervenir la température corporelle, ambiante ainsi que la masse de l’individu qui nous permet de déterminer la constante k utilisée dans l’égalité. Or comme un médecin légiste n'a pas toujours sous la main sa calculatrice scientifique pour déterminer le temps t en fonction des différentes variables, le docteur Henssge a créé un système de nomogramme qui ressemble à un quart de cercle où toutes les informations sont disposées et où l’on trace deux droites: une première entre la température du corps et celle de l’environnement ambiant. Puis une seconde en fonction de la masse de la personne. Le point d’intersection des deux droites nous donne l’estimation du délai post-mortem. Mais cette modélisation ne fonctionne que pour un corps nu dans un air calme. Il est donc souvent nécessaire de faire intervenir des facteurs correctifs qui réduisent ou accélèrent la valeur initiale. Ainsi, si le Cf de correction est supérieur à 1, le corps se refroidit plus lentement, et inversement, si le Cf est inférieur à 1, le refroidissement est plus rapide. Enfin, notons que le docteur Henssge a estimé une durée à ajouter et à soustraire à l’estimation trouvée pour d’obtenir ce que l’on appelle un intervalle de confiance de 95%. (si vous le souhaitez, je pourrais utiliser un exemple concret lors des questions pour éclairer mon propos) On pourrait également modéliser cette baisse de température par une suite mathématique. Pour cela, on pourrait introduire une suite (Un) définie sur N tel que Un= 27,2 x 0,98 xx (n) + 10, où n représente le nombre d’heures après la mort. Ces valeurs n’ont bien sûr pas été prises au hasard mais ont été sélectionnées car elles correspondent au mieux avec les températures corporelles que l’on retrouve par la méthode thermométrique du docteur Henssge. Ainsi, on remarque que u0 = 37.2 ce qui correspond à la température interne moyenne d’un individu lors de sa mort. De plus, on trouve par exemple u10 = 32,22 or d’après la méthode thermométrique, la température corporelle au bout de 10 heures est d’environ 32,19°C, soit une différence presque négligeable. Enfin, on remarque que la suite (Un) est décroissante et que lorsque l’on calcule sa limite, la suite converge vers 10, valeur que l’on assimile à la température ambiante. Notre modèle reflète donc assez fidèlement la réalité. On peut également procéder par une fonction f définie sur R telle que: f(t)= 27,2 x e xx (-0,02t) + 10, avec t le temps en heures On remarque qu’une nouvelle fois, f(0) = 37,2 et que par exemple f(10) = 32, 26 soit des valeurs très similaires à celles que l’on trouve via la méthode thermométrique. De plus, on note que la limite en plus l’infini de la fonction f est 10, soit la valeur assimilée à la température ambiante du milieu. On apprend donc ici que le délai post-mortem peut être estimé via des modélisations mathématiques diverses. Cependant, ces techniques présentes des limites comme le fait qu’elles ne fonctionnent que pendant la phase intermédiaire de décroissance rapide, entre 3 et 18 heures après la mort et qu’elles supposent que la température corporelle au moment du décès se trouvait dans les limites physiologiques à environ 37,2°C, ce qui exclut donc les cas hyper et d'hypothermie. Ancien texte: Par exemple, dans un cas où le corps est très habillé et dans un lit, le Cf est de 2 càd que le corps se refroidit 2 fois plus lentement. En revanche, s’il est nu dans une eau stagnante, le Cf est de 0,5 et traduit un refroidissement 2 fois plus rapide. Prenons un exemple, On retrouve un corps dans une mare. Celui-ci pèse 80 kg et sa température rectale est de 20 °C. Grâce à des données météorologiques, on estime que la température moyenne de l’eau sur les 15 derniers jours est de 10°C. Sur le Nomogramme, on lit 22.5 heures, auxquelles on applique le facteur correctif : en effet, étant donné que le corps a été retrouvé dans de l'eau stagnante, il faut multiplier le délai estimé par 0,5. On obtient donc 11,25 heures. La fourchette de fiabilité à 95 % est, dans ce cas précis, de + ou - 4,5 heures. ce qui place la date de la mort entre 6.75 heures et 15,75 heures plus tôt. La température de la peau s’alignera après 8h à 12h en moyenne, tandis que la température intérieure du corps prendra elle entre 2 et 3 fois plus de temps pour s’égaliser avec la température ambiante. uploads/Sante/ grand-oral-maths.pdf