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Introduction aux Syst` emes de Communications Luciano Sbaiz, Patrick Thiran, R¨

Introduction aux Syst` emes de Communications Luciano Sbaiz, Patrick Thiran, R¨ udiger Urbanke 18 septembre 2007 Table des mati` eres 1 Traitement du signal 3 1.1 Signaux et syst` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Syst` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.2 Fonction impulsionnelle. R´ eponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2.3 L’invariance dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.4 D´ eﬁnition d’un ﬁltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.5 Causalit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.6 Stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.7 Convolution de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.8 Filtres ` a r´ eponse impulsionnelle ﬁnie (FIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2.9 Filtres ` a r´ eponse impulsionnelle inﬁnie (IIR) . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.3 Transform´ ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.3.2 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.3.3 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.3.4 Propriet´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.3.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4 ´ Echantillonnage et interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1 1.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.4.2 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.5 Solutions des exercices du module traitement du signal . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.5.1 Solutions des exercices de la section 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.5.2 Solutions des exercices de la section 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.5.3 Solutions des exercices de la section 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5.4 Solutions des exercices de la section 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2 Chapitre 1 Traitement du signal 3 1.1 Signaux et syst` emes 1.1.1 Introduction Dans ce module nous allons parler du traitement du signal. Qu’est ce qu’un signal ? Un signal est une repr´ esentation math´ ematique d’une quantit´ e physique, par exemple la pression de l’air correspondant ` a un certain son. Nous obtenons des signaux soit en les mesurant ` a l’aide de senseurs (p.ex. un microphone) soit en les g´ en´ erant (p.ex. le synth´ etiseur d’un instrument de musique) Que peut-on faire avec les signaux ? On peut les transformer en utilisant un “syst` eme”. Un syst` eme prend un signal en entr´ ee et produit un signal ` a la sortie. Le signal sortant a cer- taines propri´ et´ es int´ eressantes. Prenez le microphone de l’exemple pr´ ec´ edent. Nous pouvons le consid´ erer comme un syst` eme qui transforme la pression du son en un signal ´ electrique. La pression du son est diﬃcile ` a ampliﬁer ou ` a enregistrer (mˆ eme si l’on peut penser ` a un syst` eme purement pneumatique pour enregistrer les sons) donc on convertit la pression du son en un signal ´ electrique ´ equivalent. Cependant, cette conversion a certaines limitations. Par exemple, vous ne pouvez pas utiliser le mˆ eme microphone pour enregistrer un chanteur et le bruit d’une turbine d’avion : il y a une limite sur la gamme du signal que l’on peut enregistrer. De plus, normalement vous ne pouvez pas enregistrer des ultrasons avec un microphone normal (p.ex. supposez que vous voulez enregistrer une chauve-souris) i.e. il y une limite fr´ equentielle. En r´ esum´ e, un syst` eme tel un microphone n’est pas un convertisseur id´ eal de signaux. Il y a un ´ etat de fait g´ en´ eral ` a propos des syst` emes : ils ont certaines qualit´ es par uploads/Sante/ intro-comm.pdf