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Ce document est un condensé des cours distribués dans l'unité d'enseignement EL

Ce document est un condensé des cours distribués dans l'unité d'enseignement ELE102 en FOD (formation ouverte à distance) par le CNAM-Centre Pour compléter vos connaissances : Les livres : Traitement numérique du signal Maurice BELLANGER (Dunod) ; Méthodes et techniques de traitement du signal J.MAX (Masson) ; Introduction au traitement du signal P. DUVAUT, F. MICHAUT et M. CHUC (Hermes) ; Traitement numérique des signaux M.KUNT (Dunod) ; Théorie et traitement des signaux F. de COULON (Dunod). Traitement numérique du signal Gérard BLANCHET et Maurice CHARBIT (Techniques de l’ingénieur). Filtres numériques synthèse Jacques PRADO (Techniques de l’ingénieur). Systèmes de télécommunications P.G. FONTIOLLET (Dunod). Traitement numérique du signal A.W.M. VAN DEN ENDEN et N.A.M. VERHOECKX (Masson) Sur Internet : Wikipédia site en pleine progression; J. AUVRAY Traitement du signal Document conçu et rédigé par Claude BORDEAUX professeur au CNAM-Centre. Traitement numérique du signal ELE102 Traitement numérique du signal Cours ELE102-FOD Rédacteur Claude BORDEAUX Page 3 1 Signaux échantillonnés............................................................................................ 7 1.1 Echantillonnage (sampling) ................................................................................................................ 7 1.1.1 Principe ........................................................................................................................................................ 7 1.1.2 Principe de l’échantillonnage ....................................................................................................................... 8 1.1.3 Echantillonnage idéal ................................................................................................................................... 9 1.1.4 Que faire des échantillons ? ........................................................................................................................ 11 1.1.5 Rappels ...................................................................................................................................................... 12 1.2 Spectre d’un signal échantillonné ..................................................................................................... 13 1.2.1 Justification sans calcul .............................................................................................................................. 13 1.2.2 Représentation graphique ........................................................................................................................... 14 1.2.3 Action de l’échantillonnage sur le spectre ................................................................................................... 15 1.2.4 Spectre d’un signal échantillonné ................................................................................................................ 16 1.2.5 Dualité temps<>fréquence ......................................................................................................................... 17 1.3 Théorème de l’échantillonnage ......................................................................................................... 18 1.3.1 Comment échantillonner ? .......................................................................................................................... 18 1.3.2 Repliement du spectre (aliasing) ................................................................................................................. 18 1.3.3 Théorème d’échantillonnage ....................................................................................................................... 20 1.3.4 Exemples de réalisation : ............................................................................................................................ 20 1.3.5 Filtre anti-repliement .................................................................................................................................. 21 1.4 Reconstitution du signal analogique ................................................................................................. 23 1.4.1 Interpolateur idéal ...................................................................................................................................... 23 1.4.2 Bloqueur..................................................................................................................................................... 24 1.4.3 Lissage ....................................................................................................................................................... 26 1.5 Energie et puissance d’un signal échantillonné ................................................................................ 28 1.5.1 Rappels : Energie et puissance d’un signal analogique ................................................................................ 28 1.5.2 Signal échantillonné ................................................................................................................................... 29 1.6 Suréchantillonnage ............................................................................................................................ 32 1.6.1 Acquisition ................................................................................................................................................. 32 1.6.2 Reconstitution du signal analogique ............................................................................................................ 33 1.7 Sous échantillonnage ......................................................................................................................... 35 1.7.1 Signal périodique ........................................................................................................................................ 35 1.7.2 Signal à spectre passe bande ....................................................................................................................... 36 1.8 Echantillonnage des signaux aléatoires. ........................................................................................... 39 1.8.1 Echantillons................................................................................................................................................ 39 1.8.2 Spectre d’un signal aléatoire échantillonné ................................................................................................. 40 1.8.3 Repliement .................................................................................................................................................. 40 1.8.4 Reconstitution. ............................................................................................................................................ 41 1.8.5 Conclusion ................................................................................................................................................. 41 1.9 Echantillonnage réel .......................................................................................................................... 42 1.9.1 Spectre ....................................................................................................................................................... 42 1.9.2 Echantillonneur bloqueur ........................................................................................................................... 43 1.10 Découpage ........................................................................................................................................ 44 1.10.1 Cas général .............................................................................................................................................. 44 1.10.2 Echantillonnage idéal ............................................................................................................................... 44 1.10.3 Impulsions rectangulaires ......................................................................................................................... 45 1.10.4 Echantillonnage avec maintien .................................................................................................................. 45 2 Numérisation des signaux échantillonnés ............................................................. 47 2.1 Généralités......................................................................................................................................... 47 2.1.1 Résumé de l’épisode précédent ................................................................................................................... 47 2.1.2 Traitement numérique des échantillons ....................................................................................................... 48 2.1.3 Systèmes de traitement numérique .............................................................................................................. 49 2.2 Quantification ................................................................................................................................... 50 2.2.1 Définition ................................................................................................................................................... 50 2.2.2 Facteur de crête ......................................................................................................................................... 50 2.2.3 Caractéristique d’un quantificateur uniforme .............................................................................................. 51 2.2.4 Caractéristique d’un quantificateur non uniforme ....................................................................................... 52 2.2.5 Performances ............................................................................................................................................. 52 2.3 Bruit de quantification ...................................................................................................................... 53 2.3.1 Observations .............................................................................................................................................. 53 2.3.2 Puissance du bruit de quantification ........................................................................................................... 56 2.3.3 Rapport signal/bruit ................................................................................................................................... 57 2.3.4 Influence de l’amplitude ............................................................................................................................. 58 2.3.5 Remarque ................................................................................................................................................... 59 2.3.6 Quantification non uniforme ....................................................................................................................... 59 2.4 Convertisseurs A/N N/A .................................................................................................................... 61 2.4.1 Convertisseurs N/A :................................................................................................................................... 61 2.4.2 Convertisseurs A/N :................................................................................................................................... 61 2.5 Application : chaîne d’acquisition de données ................................................................................. 62 2.5.1 Définitions ................................................................................................................................................. 62 2.5.2 Schéma d‘une chaîne d’acquisition ............................................................................................................. 62 2.5.3 Exemple : Mesure de température ............................................................................................................... 62 2.6 Approfondissons ! ............................................................................................................................. 64 2.6.1 Sur-échantillonnage ................................................................................................................................... 64 2.6.2 Discrétisation des amplitudes ..................................................................................................................... 66 2.6.3 Exemple de sur-échantillonnage ................................................................................................................. 68 2.7 Documentation .................................................................................................................................. 69 2.7.1 CAN 8 bits ................................................................................................................................................. 69 2.7.2 CAN 6 bits ultra rapide pour télécommunications ....................................................................................... 70 2.7.3 CAN 24 bits à sur-échantillonnage ............................................................................................................. 71 2.7.4 CNA 24 bits Sigma Delta ............................................................................................................................ 72 3 Systèmes numériques ............................................................................................. 73 3.1 Traitement numérique des échantillons ........................................................................................... 73 3.1.1 Signaux échantillonnés (rappels) ................................................................................................................ 73 3.1.2 Signaux usuels échantillonnés ..................................................................................................................... 74 3.1.3 Transformée de Fourier des signaux échantillonnés .................................................................................... 75 3.1.4 Opérations élémentaires sur les signaux échantillonnés .............................................................................. 77 3.1.5 Convolution................................................................................................................................................ 79 3.1.6 Systèmes numériques ou échantillonnés ? ................................................................................................... 82 3.2 Systèmes échantillonnés .................................................................................................................... 83 3.2.1 Définitions ................................................................................................................................................. 83 3.2.2 Equations aux différences linéaires ............................................................................................................. 83 3.2.3 Schémas fonctionnels.................................................................................................................................. 83 3.2.4 Exemples de systèmes échantillonnés .......................................................................................................... 86 3.2.5 Réponse impulsionnelle d’un système linéaire ............................................................................................. 87 Traitement numérique du signal Cours ELE102-FOD Rédacteur Claude BORDEAUX Page 5 3.2.6 Réponse harmonique d’un système linéaire ................................................................................................. 87 3.2.7 Exemples .................................................................................................................................................... 89 3.3 Transformée en Z .............................................................................................................................. 92 3.3.1 Définitions .................................................................................................................................................. 92 3.3.2 Propriétés ................................................................................................................................................... 94 3.3.3 Transformées usuelles ................................................................................................................................. 96 3.3.4 Transformée inverse ................................................................................................................................... 97 3.4 Fonction de transfert ......................................................................................................................... 99 3.4.1 Définitions .................................................................................................................................................. 99 3.4.2 Schéma fonctionnel ................................................................................................................................... 101 3.4.3 Réponse en fréquence ............................................................................................................................... 103 3.4.4 Pôles et zéros ............................................................................................................................................ 106 3.4.5 Stabilité .................................................................................................................................................... 111 3.4.6 Phase minimale ou maximale ? ................................................................................................................. 112 3.4.7 Pour en savoir plus sur les zéros et les pôles ............................................................................................. 115 4 Filtres numériques ................................................................................................119 4.1 Généralités ....................................................................................................................................... 119 4.1.1 Rappels sur le filtrage ............................................................................................................................... 119 4.1.2 Systèmes numériques ................................................................................................................................ 119 4.1.3 Filtrage des signaux numériques ............................................................................................................... 120 4.1.4 Classification des filtres numériques ......................................................................................................... 121 4.1.5 D.S.P. ....................................................................................................................................................... 123 4.1.6 Filtre analogique ou numérique? .............................................................................................................. 124 4.1.7 Comparaison des différents filtres numériques .......................................................................................... 124 4.2 Filtre RIF ......................................................................................................................................... 125 4.2.1 Principe .................................................................................................................................................... 125 4.2.2 Filtre passe bas RIF .................................................................................................................................. 126 4.2.3 Filtre passe haut RIF ................................................................................................................................ 134 4.2.4 Calcul des coefficients des filtres RIF ........................................................................................................ 136 4.2.5 Fonction de transfert ................................................................................................................................ 142 4.2.6 Filtrage du bruit ....................................................................................................................................... 144 4.3 Applications des filtres RIF ............................................................................................................ 145 4.3.1 Interpolation ............................................................................................................................................. 145 4.3.2 Déphaseur RIF en quadrature ................................................................................................................... 148 4.3.3 Filtres demi-bande .................................................................................................................................... 151 4.4 Filtres RII ........................................................................................................................................ 154 4.4.1 Fonction de transfert ................................................................................................................................ 154 4.4.2 Schémas fonctionnels ................................................................................................................................ 154 4.4.3 Pôles et zéros ............................................................................................................................................ 155 4.4.4 Cellule du 1er ordre purement récursive .................................................................................................... 157 4.4.5 Cellule du 1er ordre générale..................................................................................................................... 158 4.4.6 Cellule du 2 ème ordre purement récursive.................................................................................................. 160 4.4.7 Cellule du 2ème ordre générale ................................................................................................................... 164 4.4.8 Transposition analogique  numérique .................................................................................................... 167 4.4.9 Réalisation des filtres RII .......................................................................................................................... 171 4.5 Applications des filtres RII ............................................................................................................. 175 4.5.1 Etude d’un filtre passe bas RII .................................................................................................................. 175 4.5.2 Etude d’un déphaseur RII ......................................................................................................................... 177 4.6 Filtres en peigne .............................................................................................................................. 178 4.6.1 Filtres périodiques .................................................................................................................................... 178 4.6.2 Exemple ................................................................................................................................................... 181 4.6.3 Moyenne à structure récursive .................................................................................................................. 182 4.6.4 Filtre à échantillonnage en fréquence ....................................................................................................... 183 4.7 Structure « Treillis » ....................................................................................................................... 185 4.7.1 Filtre non récursif .................................................................................................................................... 185 4.7.2 Filtre récursif ........................................................................................................................................... 185 5 Transformée de Fourier Discrète ......................................................................... 187 5.1 Séries réelles .................................................................................................................................... 187 5.1.1 Séries complexes ...................................................................................................................................... 189 5.2 Transformée de Fourier .................................................................................................................. 190 5.2.1 Transformée d’un signal analogique ......................................................................................................... 190 5.2.2 Transformée d’un signal échantillonné ..................................................................................................... 190 5.3 De la TF à la TFD ............................................................................................................................ 192 5.3.1 Echantillonnage du spectre ....................................................................................................................... 192 5.3.2 Transformée de Fourier discrète TFD ....................................................................................................... 193 5.3.3 Exemple 1 : .............................................................................................................................................. 194 5.3.4 Exemple 2 ................................................................................................................................................ 196 5.3.5 Relation avec la transformée en Z ............................................................................................................. 197 5.3.6 Série de Fourier discrète SFD ................................................................................................................. 197 5.3.7 Autres définitions ..................................................................................................................................... 197 5.3.8 Durée du calcul ........................................................................................................................................ 197 5.3.9 Propriétés de la TFD ................................................................................................................................ 198 5.3.10 Résolution : ............................................................................................................................................ 199 5.3.11 Relation matricielle ................................................................................................................................ 202 5.4 Transformée de Fourier rapide ...................................................................................................... 203 5.4.1 Définition ................................................................................................................................................. 203 5.4.2 Limitations ............................................................................................................................................... 207 5.4.3 Analyse spectrale ..................................................................................................................................... 208 5.4.4 Convolution.............................................................................................................................................. 211 5.5 Transformée en cosinus .................................................................................................................. 212 5.5.1 De la TFD à la TCD ................................................................................................................................. 212 5.5.2 Transformée en cosinus discrète DCT ....................................................................................................... 213 5.5.3 Transformée bidimentionnelle................................................................................................................... 215 5.5.4 Compression JPEG .................................................................................................................................. 216 5.6 Annexes ........................................................................................................................................... 219 5.6.1 Fonctions de filtrage................................................................................................................................. 219 5.6.2 Base orthogonale ..................................................................................................................................... 221 5.6.3 Signaux complexes ................................................................................................................................... 222 Traitement numérique du signal Cours ELE102-FOD Rédacteur Claude BORDEAUX Page 7 1 Signaux échantillonnés 1.1 Echantillonnage (sampling) 1.1.1 Principe Toute grandeur physique est de nature analogique, c'est-à-dire une fonction continue du temps et de l’amplitude. Figure 1.1-1 L’information contenue dans un signal analogique sa(t) est connue à chaque instant et présente une infinité de valeurs. Est-il nécessaire de connaître le signal à chaque instant pour comprendre l’information ? La connaissance d’échantillons, valeurs prises par ce signal à des instants régulièrement espacés, suffit pour connaître l’information et permettre de la reconstituer. Cette opération s’appelle échantillonnage. L’échantillonnage est effectué à des instants régulièrement espacés (échantillonnage périodique). Te étant la période d’échantillonnage, les instants de prélévement sont: k e t k T   . La fréquence d’échantillonnage est 1 e e f T  . Figure 1.1-2 Le signal est alors à temps discontinu ou discret (de l’anglais discrete). Il peut être traité par des dispositifs à commutation (capacités commutées, registre à transfert de charge) ou, après quantification, par des dispositifs numériques (micro-processeurs, D.S.P.). Le caractère discret permet le multiplexage temporel des signaux et ainsi transmettre plusieurs informations par le même canal.   ( ) ( ) a k e Echantillonnage signal continu s t suite de valeurs s s k T     Intuitivement, on conçoit que la fréquence d’échantillonnage et donc le nombre d’échantillons influent sur l’information contenue. Si le nombre d’échantillons est insuffisant, l’information est déteriorée car dans ce cas les échantillons ne peuvent uploads/Sante/ ele102-new-co1.pdf