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Qu'il s'agisse de I'electricite statique ou dynamiquie, de la propagatioin de la chaleur, de l'optique, de l'elasticite, de 1'hydrodynanlique, on est toujours conduit a des egquations diff-6rentielles de mreme famille et les conditions aux limites, quoique diff6rentes, ne sont pas pourtant sans offrir quel- ques resemblances. Nous ne citerons ici que quelques exemples. J'imagine d'abord que l'on se propose de trouver la temperature finale d'un corps solide conducteur, homnogene et isotrope, lorsque les divers -points de la surface de ce corps sont maintenus artificiellement a des temperatures donnees. Ce probleme traduit dans le langage analytique s'enonce coinme il suit: Trouver une fonction V qui dans une portion de 1'espace satisfasse a l'equa- tion de Laplace, V=d2V d2 V d2 V dx2 + dy2 + dz2 et qui prenne des valeurs donnees aux divers points de la surface qui limite cet espace. C'est le probPlme de Dirichlet. Supposons maintenant que l'on cherche quelle est la distribution de 1'elec- tricite statique a la surface d'un conducteur donne; nous retrouverons le mreme probleme analytique. I1 s'agit -de trouver une fonction V qui satisfasse a l'equation de Laplace dans tout 1'espace exterieur au conducteuir et qui se reduise a 0 a l'infini et a 1 a la sur- face au conducteur. 28 212 POINCARE: Sur les Equations aux Derivees C'est un cas particulier du probl'me de Dirichlet, mais on connait un moyen (par les fonctions de Green) de ramiener le cas general a ce cas particulier. Les deux problemes, absolument diff6rents au point de vue physique, sont identiques au point de vue analytique. D'autres analogies, quoique moins completes, sont cependant evidentes. Nous citerons d'abord le problerme suivant; un liquide est contenu danis un vase qu'il remplit completement; divers corps solides mobiles sont plonges dans ce liquide; on connailt les mouvements de ces corps et on suppose qu'il y a une fonction des vitesses; on demande quel est le mnouvement du liquide. C'est la le probleme des spheres pulsantes de M. Bjerknes (imitation hydro- dynamique des phenomenes electriques). Au point de vue analytique, il s'agit de trouver une fonction V qui satis- fasse a l'equation de Laplace a l'interieur, d'un certain espace et telle que sur la surface qui limite cet espace la deriv6ee d- ait des valeurs donnees. Je rappelle quel est le sens de cette notation dV dont il sera fait un frequent usage dans la suite. Soit un element de surface quelconque; et a , ty les trois cosilnus directeurs de la normale 'a cet element; nous posons: dV dV dV dV dn- d x dy +'Ydz Ainsi dans le probleme hydrodynamique, nous retrouvons la meme equation differentielle que dans les problemes thermique et electrique; les conditions aux limites seules diff6rent. II en sera encore de melme dans le probleme de l'induc- tion magnetique. Supposons un ou plusieurs aimants permanents mis en presence d'un corps magnetique parfaitement doux M. I1 s'agit de trouver une fonction V (le potentiel magnetique) qui satisfait 'a l'equation de Laplace dans toute la por- tion de l'espace qui n'est pas occupee par des aimants permanents et qui est assujettie en outre aux conditions suivantes. Aux divers points oiu il y a du magnetisme permanent, AV n'est pas nul, mais peut etre regarde coinme donne. La fonction V est continue dans tout l'espace; ses derivees sont con- tinues a l'iDte6rieur du corps M et a l'exterieur- de ce corps, mais elles sont discontinues 'a la surface du corps M. Dans le voisinage de cette surface, edV aura donc deux valeurs diff6rentes selon qu'on se placera a l'interieur Partielles de la Physique Mathe6rnatique. 213 ou a l'exterieur da corps M; mais le rapport de ces deux valeurs sera une con- stante donnee. Ici encore, nous retrouvons la mneme equation differentielle, avec des con- ditions aux limites analogues quoique diff6rentes. Voici mnaintenant des cas oii l'6quation diff6rentielle est legerement modifiee. Supposons que l'on cherche la loi du refroidissement d'un corps solide isole dans l'espace. I1 s'agira de trouver une fonction V satisfaisant a l'equation dV kA V, dt et qui de plus est donnee pour t = . :Enfin a la surface du corps le rapport de dV Va est donnee. dn Dans les problemes d'optique, on a trois fonctions inconnues it V, w et quatre 6quations: d2u d2v d2w du dv dw d 2 A, dt2 -kAv dt2 --W , dx + dy + dz - . Les conditions aux limites varient suivant les problemes; mais dans les questions de diffraction principalement elles ne sont pas sans analogie avec celles que nous avons rencontrees jusqu'ici. Ce sont encore les m'enes equations, avec des conditions aux limites ana- logues, quoique differentes, que l'on rencontre dans le probleme de la viscosite des liquides, trait6 d'apres des idees de Navier. Les recents travaux de M. Couette ont rappele l'attention sur cette question, qui 6tait tombee dans un injuste oubli, malgr6 le beau chapitre que Kirchhoff y avait consacre dans sa Physique Mathematique. La theorie de l'6lasticite nous offre des 6quations plus compliquees, mais qui ne diff6rent pas beaucoup des pr6cedentes. On a encore trois fonctions inconnues u, v, w, auxquelles j'adjoindrai la fonction auxiliaire 0 = du + dv+ dcw et trois equations dont la premiere s'ecrit: dx +dy + z Au + X dO = O Je n'ecris pas les conditions aux limites tout 'a fait analogues, mutatis mutandi-s, a celles des problnemes precedents et je passe immeudiatement a une question tres 214 POINCARE': Sur les Equations ax. Derives importante en hydrodynamique et qui consiste a trouver les composantes de la vitesse en tous les points d'un liquide quand on connalt les composantes du tour- billon en tous les points de ce meme liquide. Ce probleme au point de vue analytique s'enonce comme il suit: Connaissant trois fonctions Oa, , r, trouver trois fonctions inconnues u, v, w, qui satisfont a certaines conditions aux limites et de plus aux equations dw dv du dwv dv du du dv dw a dy dz' dz dx ddy dx dy+dz+ (1) L'analogie avec les problemes precedents ne parait pas d'abord evidente, mais elle le devient si on observe que les trois premieres equations (1) peuvent (en vertu de la quatriReme) etre rernplacees par trois autres dont la premiere s'ecrit. Au= df3 dy, dz dy et dont des autres peuvent s'ecrire par sym6trie. Je pourrais montrer aussi, si je ne craignais de fatiguer l'attention par de trop nombreux exemples, que presque toutes les questions, encore mal etudiees, relatives a l'induction electrodynamique dans des conducteurs non lineaires se ramenent a des problemes analogtues' aux precedents et surtout 'a la derniere question d'hydrodynamique que je viens de nentionner. Cette revue rapide des diverses parties de la Physique Mathematique nous a convaincus que tous ces problemes, malgre l'extreme variete des conditions aux limites et meme des equations diff6rentielles, ont, pour- ainsi dire, un certain air de famille qu'il est impossible de meconnaitre. On doit donc s'attendre a leur trouver un tres grand-nombre de proprietes communes. Malheureusement la premiere des proprietes communes a tous ces problemes, c'est leur extr'eme difficulte. Non seulement on ne peut le plus souvent les resoudre completement, mais ce n'est qu'au prix des plus grands efforts qu'on peut en demontrer rigoureusement la possibilite. Cette demonstration est-elle necessaire ? La pliipart des physiciens en feraient bon marche. L'experience ne permettant pas de douter, par exemple, de la possibilit6 de l'equilibre electrique, on ne peut douter, non plus semble-t-il, de la possibilite des equations qui expriinent cet equilibre. Nous ne sauirions nous contenter de cette defaite; l'analyse doit pouvoir se suffire a elle-meme et d'ailleurs un pareil raisonnement, n'il s'applique peut-etre aux p-roblemes que Partielles uploads/Sante/ rendiconti-del-circolo-matematico-di-palermo.pdf