Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2007-2008 10 - 1 Signaux aléatoire

S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2007-2008 10 - 1 Signaux aléatoires A. Définitions A.1. Description probabiliste La notion de signal aléatoire est plus ou moins intuitive. Mais pour être capable de les traiter nous devons en donner une définition formelle. Un signal aléatoire peut être défini comme une fonction x(t,α) à deux paramètres. Le premier représente le temps (continu ou discret) et l’autre une variable aléatoire. Pour une valeur donnée de α, xα(t) = x(t,α) est une réalisation du signal temporel. On parle aussi d’échantillon ou de trajectoire (fig. 10-1). A chaque instant t, X(t) = x(t,α) est une variable aléatoire. Le signal aléatoire peut donc être décrit par une densité de probabilité que nous noterons p(x,t) ou une fonction de répartition F(x,t). Nous avons : [ ] x ) t ( X P ) t , x ( F ≤ = [ ] x ) t , x ( F ) t , x ( p dx x ) t ( X x P dx ) t , x ( p ∂ ∂ = ⇒ + < ≤ = La densité p(x,t) est dite densité de probabilité du premier ordre. Il est également important de pouvoir décrire les relations pouvant exister entre tout couple de variables aléatoires prises à deux instants t1 et t2. Pour cela nous définissons la fonction de répartition et la densité de probabilité de deuxième ordre, avec : [ ] 2 2 1 1 2 2 1 1 x ) t ( X ; x ) t ( X P ) t , x ; t , x ( F ≤ ≤ = 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 x x ) t , x ; t , x ( F ) t , x ; t , x ( p ∂ ∂ ∂ = De manière similaire nous pouvons également définir des probabilités d’ordres supérieurs. A.2. Stationnarité Un signal aléatoire est dit stationnaire (au sens strict) si toutes ses propriétés statistiques, à tous les ordres, sont invariantes dans le temps. C’est-à-dire que les deux signaux X(t) et Y(t) = X(t + τ) ont les mêmes propriétés statistiques. Dans la pratique on se limite très souvent aux signaux aléatoires stationnaires du deuxième ordre, pour lesquels les propriétés statistiques d’ordre 1 et 2 sont indépendantes des instants d’observation. Nous avons alors : S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2007-2008 10 - 2 ) x ( p ) t , x ( p et ) x ( F ) t , x ( F = = 2 x 2 x 2 2 x µ ) x ( E ) t , x ( E et µ ) x ( E ) t , x ( E σ + = = = = 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 t t avec ) , x , x ( p ) t , x ; t , x ( p et ) , x , x ( F ) t , x ; t , x ( F − = τ τ = τ = La probabilité du premier ordre est indépendante du temps et celle du deuxième ordre ne dépend que de l’intervalle séparant les deux instants d’observation. Fig. 10-1 : Quatre réalisations ou échantillons d’un même processus stochastique A.3. Ergodisme Considérons un échantillon (ou trajectoire) d’un signal aléatoire, que nous notons x(t) pour alléger l’écriture. C’est un signal temporel dont nous pouvons calculer la valeur moyenne : ∫ ∞ → = T 0 T dt ) t ( x T 1 lim x Un signal aléatoire est dit ergodique si ses valeurs moyennes statistiques sont identiques à ses valeurs moyennes temporelles. C’est-à-dire pour un signal stationnaire : ∫ ∫ ∞ → ∞ + ∞ − = ⇔ = T 0 n T n n n dt ) t ( x T 1 lim dx ) x ( p x x ) x ( E S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2007-2008 10 - 3 Il est alors possible d’estimer les propriétés statistiques d’un signal aléatoire par l’analyse temporelle d’un de ses échantillons. B. Autocorrélation et densité spectrale de puissance B.1. Fonction d’autocorrélation La fonction d’autocorrélation statistique d’un signal aléatoire X(t) est définie par : [ ] ) x x ( E ) t ( X ) t ( X E ) t , t ( R 2 1 2 1 2 1 X = = Soit : ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − = 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 X dx dx ) t , x ; t , x ( p x x ) t , t ( R en se souvenant que x1 = X(t1) et x2 = X(t2). La fonction d’autocovariance est définie comme la variance du couple x1 et x2 : ) x ( E ) x ( E ) x x ( E ) t , t ( C 2 1 2 1 2 1 X − = Pour un signal stationnaire, la densité de probabilité du deuxième ordre ne dépend que de l’intervalle τ = t2 – t1. Il en est donc de même pour les fonctions d’autocorrélation et d’autocovariance : 2 X X 2 1 2 1 2 1 X ) x ( E ) ( R ) ( C et dx dx ) , x , x ( p x x ) ( R − τ = τ τ = τ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − Nous avons les propriétés suivantes : ) ( C ) ( C et ) ( R ) ( R X X X X τ = τ − τ = τ − 2 x X 2 x 2 x 2 X ) 0 ( C et µ ) x ( E ) 0 ( R σ = σ + = = RX(0) représente l’espérance mathématique de la puissance du signal. L’inégalité de Cauchy-Schwartz permet de montrer que : 2 x 2 x X 2 x 2 x X X X X µ ) ( R µ et ) 0 ( C ) ( C ; ) 0 ( R ) ( R σ + ≤ τ ≤ σ − ≤ τ ≤ τ Cela permet d’introduire la fonction d’autocovariance normalisée : ) 0 ( C ) ( C ) ( X X X τ = τ ρ S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2007-2008 10 - 4 B.2. Densité spectrale de puissance Nous avons vu, dans le chapitre 8, que pour un signal déterministe la densité spectrale d’énergie est égale à la transformée de Fourier de son autocorrélation. Nous avons un résultat comparable pour les signaux aléatoires stationnaires. C’est le théorème de Wiener- Khintchine : La densité spectrale de puissance d’un signal aléatoire stationnaire est égale à la transformée de Fourier de sa fonction d’autocorrélation statistique. [ ] ) ( R TF ) ( S X X τ = ν En effet nous avons alors : [ ] ) ( S TF ) ( R X 1 X ν = τ − C’est-à-dire : ν ν = τ τ ν π ∞ + ∞ − ∫ d e ) ( S ) ( R 2 j X X Pour τ = 0 nous avons : ν ν = = ∫ ∞ + ∞ − d ) ( S ) 0 ( R ) x ( E X X 2 L’espérance mathématique de la puissance du signal aléatoire est égale à l’intégrale sur tout le spectre en fréquence de la densité spectrale de puissance. B.3. Périodogramme et théorème de Wiener-Khintchine La transformée de Fourier d’un signal aléatoire n’est pas nécessairement définie. Considérons le signal aléatoire mutilé XT(t) qui se confond avec X(t) sur l’intervalle [0, T] et est nul à l’extérieur. La transformée de tout échantillon xT(t) de ce signal aléatoire tronqué existe : [ ] ∫ ω − = T 0 t j T dt e ) t ( x ) t ( x TF Ce qui nous permet de définir une grandeur aléatoire, la transformée de Fourier du signal aléatoire TF[XT(t)], qui correspond à l’ensemble des transformées des échantillons de XT(t). Le périodogramme d’un échantillon donné xT(t) est défini par : [ ] 2 T x ) t ( x TF T 1 ) T , ( = ν Φ Nous pouvons écrire : ∫∫ ∫ ∫ − ω − ω ω − = = ν Φ T 0 T 0 ) u t ( j T 0 u j T 0 t j x du dt e ) u ( x ) t ( x T 1 du e ) u ( x dt e ) t ( x T 1 ) T , ( Calculons l’espérance mathématique de ce périodogramme : S. Tisserant – ESIL – Traitement du signal – 2007-2008 10 - 5 [ ] [ ] ∫∫ − ω uploads/Sante/ signaux-aleatoires-10-2.pdf