R. Abdelfattah - Traitement de Signal Chapitre III. Echantillonnage et quantifi

R. Abdelfattah - Traitement de Signal Chapitre III. Echantillonnage et quantification 5.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 5.2 Reconstruction 5.3 Quantification scalaire R. Abdelfattah - Traitement de Signal 2 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon Introduction La manipulation informatique des signaux impose leur transformation en valeurs numériques : Besoin de comprendre comment se fait le passage du monde analogique à celui du numérique, représenter un signal continu avec une suite de nombre. Calculateur s(t) Systèmes continus - données discrètes - codage en mot binaire - support continu - amplitude continu Interprète Interprète : Opérateur d'échantillonnage et de quantification Systèmes numériques R. Abdelfattah - Traitement de Signal 3 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon Introduction Échantillonnage : prélèvement sur le signal continu des valeurs de s(t) à des instants tn données : Généralement, les tn sont régulièrement espacés. Ce sera le cas étudié ici Quantification : transformation des valeurs s(tn) en des mots "compréhensibles" par le calculateur. t s(t) t s*(t) t sq(t) n sn Continu Discret Discret Continu R. Abdelfattah - Traitement de Signal 4 Système numérique 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.1 Principe de l’échantillonnage Signal numérique Signal analogique Te = 1/Fe Représentation schématique de l’échantillonnage x(t) x[k] = x(kTe) x[k] x(t) x[k] Représentation mathématique de l’échantillonnage ) ( ). ( ) ( ). ( e e e kT t kT x kT t t x      R. Abdelfattah - Traitement de Signal 5 Le signal continu : ) 2000 2 cos( ) ( t t x   s 2000 1 ) (s t ) (s t ) (s t Le signal discret : ) 2000 2 cos( ) ( t t x   kHz fe 8  Le signal échantillonné : e e kT t n e e T e nT t nT x t Peigne t x t x            ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.1 Principe de l’échantillonnage R. Abdelfattah - Traitement de Signal 6 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.2 Représentation fréquentielle        n T T T n f T f Peigne T t Peigne TF ) ( 1 ) ( 1 )] ( [ 1  Calculer : ? ) (  f X e R. Abdelfattah - Traitement de Signal 7 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.2 Représentation fréquentielle f |Xe(f )| Fmax -Fmax 0 Fe -Fe Fe n=0 n=1 n= -1 f |X(f )| Fmax -Fmax 0 1  Si max F 2 Fe f Fmax -Fmax 0 Fe -Fe max F 2 Fe Fe  Si |Xe(f )| Repliement spectral (Aliasing) R. Abdelfattah - Traitement de Signal 8 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.2 Représentation fréquentielle f |Xe(f )| Fmax -Fmax 0 Fe -Fe Fe n=0 n=1 n= -1 f |X(f )| Fmax -Fmax 0 1  Si max 2F Fe Difficulté de filtrage R. Abdelfattah - Traitement de Signal 9 ) (kHz f 8 8  0 )] ( [ 1 t x TF e kHz F t t x e 8 ), 2000 2 cos( ) ( 1    e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.2 Représentation fréquentielle  Exemple : R. Abdelfattah - Traitement de Signal 10 kHz f t t x e 8 ), 3000 2 cos( ) ( 2    ) (kHz f 8 8  0 )] ( [ 2 t x TF e e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.2 Représentation fréquentielle  Exemple : R. Abdelfattah - Traitement de Signal 11 ) (kHz f 8 8  0 ) ( e e f f T  s Te 8000 / 1  ) / ( e e f f T  Filtre de Shannon 4 4  6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.2 Représentation fréquentielle  Exemple : R. Abdelfattah - Traitement de Signal 12 ) (kHz f 8 8  0 )] ( [ 2 t x TF e e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 2 1 e T 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.2 Représentation fréquentielle  Exemple : R. Abdelfattah - Traitement de Signal 13 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.3 Théorème de Shannon Pour échantillonner un signal sans perte d'information, il faut que la fréquence d'échantillonnage Fe soit supérieure au double de la fréquence maximale du signal. Plus précisément, si on note Fmax la fréquence maximale du signal, il faut : max F 2 Fe  Question : quelle est la condition sur Fe pour que, à partir du signal échantillonné xe(t), on puisse reconstruire intégralement x(t)? R. Abdelfattah - Traitement de Signal 14 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.3 Théorème de Shannon  Signaux bande de base ) ( e x TF ) ( 1 e e f f X T  ) ( 1 e e f f X T  ) ( 1 f X Te e f e f  0 2 / e f 2 / e f  f e T filtre reconstructeur de Shannon max F 2 Fe  R. Abdelfattah - Traitement de Signal 15 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.3 Théorème de Shannon  Signaux bande transposée M F Fe 2  Théoriquement : non optimale Avec, k le plus petit entier tel que R. Abdelfattah - Traitement de Signal 16 6.1 Echantillonnage et théorème de Shannon 6.1.3 Théorème de Shannon  Signaux bande de base étalé vers l’infinie Filtre anti-repliement R. Abdelfattah - Traitement de Signal 17 6.2 Reconstruction On sait maintenant trouver la formule de Shannon qui calcule x(t) à partir des échantillons x(nTe) : 1. Puisque x(t) est la transformée inverse d’un produit (cf. ci-dessous) 2. la transformée de Fourier d’un produit est un produit de convolution 3. Puisque le produit de convolution par l’impulsion de Dirac décale 6.2.1 Interpolation de Shannon On a échantillonné un signal x(t) en respectant le théorème de Shannon, comment fait on pour reconstruire x(t) à partir des échantillons? Question : R. Abdelfattah - Traitement de Signal 18 6.2 Reconstruction       n e e e e e e nT t nT x T t T t T T t x ) ( ) ( / ) / sin( 1 ) (        n e e e e e T nT t T nT t nT x t x / ) ( ) / ) ( sin( ) ( ) (              )] ( [ ) ( ) ( 1 t x TF f f T TF t x e e e - La connaissance de tout les échantillons est nécessaire pour reconstruire le signal  mathématique possible, mais physiquement irréalisable. - cet interpolation est non causale. 6.2.1 Interpolation de Shannon (Aspects pratiques) R. Abdelfattah - Traitement de Signal 19 6.3 Quantification 6.3.1 Quantification scalaire Un quantificateur est donné par : • N : le nombre de niveaux. • xi xi+1 i x ˆ t x(t) uj-1 uj vj Dynamique du signal Limite de partition Centroïde R. Abdelfattah - Traitement de Signal 20 6.3 Quantification 6.3.1 Quantification scalaire Un quantificateur est donné par : • N : le nombre de niveaux. • xi xi+1 i x ˆ t x(t) Dynamique du signal Borne de l’intervalle Mot de code (Codebook) 0 224 32 64 96 128 160 192 255 16 48 80 112 144 176 208 240 R. Abdelfattah - Traitement de Signal 21 6.3 Quantification 6.3.1 Quantification scalaire Un quantificateur est donné par : • N : le nombre de niveaux. • Partition : • Mots de codes  1 .. 1   N i i x  N i i x .. 1 ˆ  Si   i e i i e x kT x x x kT x ˆ ) ( ˆ ) ( 1     • xi xi+1 i x ˆ t x(t) R. Abdelfattah - Traitement de Signal 22 6.3 Quantification 6.3.1 Quantification scalaire • La quantification entraîne une distorsion, elle est mesurée par • xi xi+1 i x ˆ t x(t)            . ˆ ) ( ˆ 2 2 dx x x x P x x E D X • Le quantificateur est choisi en fonction de la source afin de minimiser D. • N est en général une puissance de 2 afin d'étiqueter les mots de codes en uploads/Sante/ echantillange-supcom.pdf

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  • Publié le Jui 09, 2021
  • Catégorie Health / Santé
  • Langue French
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