Mathématiques L’explosion continue Mathématiques, l’explosion continue Photos :

Mathématiques L’explosion continue Mathématiques, l’explosion continue Photos : © thinkstock (2013). © Collections École polytechnique (page 162). © O. Boulanger, J. Cotera, FSMP. © SFdS, SMAI, SMF. Tous droits réservés Achevé d’imprimer en septembre 2013. Dépôt légal : 3e trimestre 2013 ISBN 978 - 2 - 85629 - 375 - 1. Imprimé en France Création La brochure « Mathématiques, l’explosion continue », conçue par la Fondation Sciences Mathématiques de Paris (FSMP), la Société Française de Statistiques (SFDS), la Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles (SMAI) et la Société Mathématique de France (SMF), a été réalisée grâce au soutien financier de Cap’Maths. Comité de rédaction Nalini Anantharaman, Jean-Marc Bardet, Anne de Bouard, Anne Gégout-Petit, Frédéric Lagoutière, Gaël Octavia, Yann Ollivier, Filippo Santambrogio Coordination Anne de Bouard Maquette et couverture Centre Polymédia, École polytechnique FSMP Institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris CEDEX 05, France Tel. 01 44 27 68 03 http://www.sciencesmaths-paris.fr SFDS Institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris CEDEX 05, France Tél. 01 44 27 66 60 http://www.sfds.asso.fr SMAI Institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris CEDEX 05, France Tél. 01 44 27 66 61 http://www.smai.emath.fr SMF Institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris CEDEX 05, France Tél. 01 44 27 67 96 http://smf.emath.fr Sommaire 11 Avant-propos 15  Couper, attendrir, trancher, réduire : un conte culinaire sur la résolution informatique des problèmes difficiles  Nicolas Schabanel, directeur de recherche CNRS à l’Université Paris Diderot Pierre Pansu, professeur à l’Université Paris-Sud  Comment répartir ses invités sur deux tablées sans placer ensemble ceux qui se détestent ? Résoudre ce casse-tête quel que soit le nombre d’invités est un pro- blème extrêmement difficile à resoudre quand le nombre d’invités augmente. À l’aide d’un peu de programmation géométrique, on peut trouver une réponse ap- prochée de garantie présumée optimale. 23  Garder le contrôle… … à l’aide des mathématiques Karine Beauchard, chargée de recherche CNRS à l’École polytechnique Jean-Michel Coron, professeur à l’Université Pierre et Marie Curie Pierre Rouchon, professeur à Mines-ParisTech  Contraindre la trajectoire d’un satellite, réguler la température de sa maison, stabiliser le niveau d’eau d’un canal… les situations nécessitant que l’on contrôle une donnée, une quantité, une position, sont omniprésentes. Ces problèmes sont l’objet d’une théorie mathématique très riche : la théorie du contrôle. 6 – Mathématiques, l’explosion continue 31  Le théorème de Green-Tao et autres secrets des nombres premiers  Michel Waldschmidt, professeur émérite à l’Université Pierre et Marie Curie  Bien que les mathématiciens s’y intéressent depuis l’Antiquité, les nombres pre- miers continuent de fasciner. En les additionnant ou en les soustrayant entre eux, on trouve une mine de problèmes dont certains sont longtemps demeurés ouverts ou restent encore irrésolus. 37  La supraconductivité Sylvia Serfaty, professeur à l’Université Pierre et Marie Curie  La supraconductivité, capacité d’un métal à laisser passer le courant élec- trique sans perte d’énergie, peut avoir des applications étonnantes. L’étude de ce phénomène fait intervenir divers domaines des mathématiques, comme le calcul des variations, les équations aux dérivées partielles, l’analyse asymptotique. Plusieurs questions ouvertes y sont associées. 43  Inspiration mathématique : la modélisation du poumon Céline Grandmont, directrice de recherche à Inria  La complexité de notre système respiratoire en fait un joli sujet d’application des mathématiques. Le fonctionnement de l’appareil respiratoire est décrit par des équations qui servent à effectuer des simulations venant compléter l’expérience et permettant de mieux comprendre ou prévoir les phénomènes qui se produisent lorsque nous respirons. 51  Le temps qu’il fera  Claude Basdevant, professeur à l’Université Paris 13 et à l’École polytechnique  La prévision météorologique ou climatique n’est pas une mince affaire. Elle im- plique la modélisation de nombreux phénomènes de natures différentes et l’inter- vention de plusieurs sciences, des mathématiques à la biologie, en passant par l’informatique, la physique ou la chimie. 57  Internet, feux de forêt et porosité : trouvez le point commun Marie Théret, maître de conférences à l’Université Paris Diderot  Echanges de données entre internautes, propagation d’un feu de forêt, infiltration de l’eau dans une roche : un modèle mathématique simple utilisant des graphes permet de mieux comprendre ces phénomènes. Sommaire – 7 63  A la recherche de la forme idéale Grégoire Allaire, professeur à l’École polytechnique François Jouve, professeur à l’Université Paris Diderot  Les objets issus de la fabrication industrielle sont pensés de façon à optimiser un certain nombre de paramètres comme le poids ou la solidité. Pour éviter de chercher à tâtons la meilleure forme possible, on peut aujourd’hui compter sur plusieurs méthodes mathématiques d’optimisation. 69  La biodiversité mise en équations… ou presque Sylvie Méléard, professeur à l’École polytechnique  Prédire l’évolution d’une population animale sur une longue période, connaître le fonctionnement d’un écosystème, comprendre l’avantage de la reproduction sexuée pour la survie des espèces… les problèmes issus de la biodiversité sont complexes et leur résolution fait appel à des outils mathématiques sophistiqués. 77  La restauration de vieux films Julie Delon, chargée de recherche à Telecom ParisTech  Agnès Desolneux, directrice de recherche CNRS à l’École Normale Supérieure de Cachan  Le papillonnage fait partie des défauts qui affectent couramment les bandes abî- mées. À travers ce cas particulier, voyons comment les mathématiques aident à créer des algorithmes permettant de corriger automatiquement les imperfections des vieux films. 83  Cryptage et décryptage : communiquer en toute sécurité Jean-Louis Nicolas, professeur à l’Université Claude Bernard Lyon 1 Christophe Delaunay, professeur à l’Université de Franche-Comté  La sécurisation de nos cartes bleues, ainsi que d’autres procédés de cryptages uti- lisés couramment, se basent sur l’impossibilité, en pratique, de factoriser de très grands nombres. Ce type de cryptage pourrait cependant être détrôné par d’autres méthodes, sa fiabilité étant sans cesse remise en question par les progrès de l’infor- matique. 89  Pourquoi et comment nager dans le miel ?  François Alouges, Guilhem Blanchard, Sylvain Calisti, Simon Calvet, Paul Fourment, Christian Glusa, Romain Leblanc et Mario Quillas-Saavedra, respectivement professeur et élèves de l’École polytechnique  La nage dans des milieux très visqueux comme le miel est un sujet de recherches actuel, qui touche des disciplines aussi diverses que la mécanique des fluides, les mathématiques appliquées ou la biologie. Mais pourquoi donc s’intéresser à la natation dans du miel ? Et quelles sont les différences entre la nage dans du miel et celle dans de l’eau ? 8 – Mathématiques, l’explosion continue 95  Le théorème du soufflet Étienne Ghys, directeur de recherche CNRS à l’École Normale Supérieure de Lyon  Une règle, un crayon, du carton, des ciseaux et de la colle : il n’en faut guère plus pour procurer aux mathématiciens du plaisir et de jolis problèmes – dont l’étude se révèle souvent, après coup et de manière inattendue, utile dans d’autres métiers. 101  La détection de spams : un jeu d’enfant ? Tristan Mary-Huard, chargé de recherche Inra à Inra-AgroParisTech  Comment distinguer automatiquement un spam d’un message normal ? Les filtres anti-spams analysent le texte des messages en utilisant des algorithmes de clas- sification en forme d’arbres. Ceux-ci comportent un nombre optimal de nœuds correspondant à autant de questions pertinentes permettant de déterminer la nature d’un message. 107  L’art de couper les têtes sans faire mal Erwan Le Pennec, chargé de recherche Inria à l’Université Paris-Sud  Le principe du scanner implique de savoir retrouver un objet à partir d’une col- lection de radiographies de cet objet. Il s’agit de ce que l’on appelle, en mathé- matiques, un problème inverse. Sa résolution s’avère difficile et constitue toujours une source de questions pour les mathématiciens. 113  Climatologie et statistiques Pascal Yiou, directeur de recherche au CEA Philippe Naveau, chargé de recherche CNRS à l’Institut Pierre Simon Laplace  L’étude du climat et de ses variations est basée sur un grand nombre d’outils et concepts statistiques. Ceci se reflète dans le langage employé par les différents rapports du GIEC (Groupe International d’Experts sur le Climat), qui mettent beaucoup l’accent sur les incertitudes et leur quantification. 119  Chercher sur le Web : juste un point fixe et quelques algorithmes  Serge Abiteboul, directeur de recherche Inria à l’École Normale Supérieure de Cachan  Le Web met à notre disposition une masse considérable d’information, plusieurs dizaines de milliards de documents. Sans les moteurs de recherche, ces systèmes de plus en plus sophistiqués qui nous aident à nous focaliser sur un petit nombre de pages, le Web ne serait qu’une poubelle à ciel ouvert, gigantesque et inutili- sable. Le rôle de ces systèmes est de faire surgir de la masse des internautes une intelligence collective pour évaluer, classer, filtrer les informations. Comment les moteurs de recherche gèrent-ils ces volumes d’information véritablement phéno- ménaux ? Comment aident-ils les utilisateurs à trouver ce qu’ils cherchent dans cette masse ? Retour sur un des plus beaux succès du Web. Sommaire – 9 127  La brouette de Monge ou le transport optimal  Yann Brenier, directeur de uploads/Societe et culture/ explosion-des-maths-suite.pdf

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Société et culturecette mathématiques d’une nombre entre
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