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Mathématiques PE2-21-G3 Page : 1/9 Ministère de l’Éducation nationale, de la Je

Mathématiques PE2-21-G3 Page : 1/9 Ministère de l’Éducation nationale, de la Jeunesse et des Sports Session 2021 PE2-21-G3 Repère à reporter sur la copie CONCOURS DE RECRUTEMENT DE PROFESSEURS DES ÉCOLES Mardi 13 avril 2021 Deuxième épreuve d’admissibilité Mathématiques Durée : 4 heures Épreuve notée sur 40 Rappel de la notation : - première partie : 13 points - deuxième partie : 13 points - troisième partie : 14 points 5 points au maximum pourront être retirés pour tenir compte de la correction syntaxique et de la qualité écrite de la production du candidat. Une note globale égale ou inférieure à 10 est éliminatoire. Ce sujet contient 9 pages, numérotées de 1 à 9. Assurez-vous que cet exemplaire est complet. S’il est incomplet, demandez un autre exemplaire au chef de salle. L’usage de la calculatrice électronique de poche à fonctionnement autonome, sans imprimante est autorisé. L’usage de tout autre matériel électronique, de tout ouvrage de référence et de tout document est rigoureusement interdit. N.B : Hormis l’en-tête détachable, la copie que vous rendrez ne devra, conformément au principe d’anonymat, comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Tout manquement à cette règle entraîne l’élimination du candidat. Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur, signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez l’épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement. Mathématiques PE2-21-G3 Page : 2/9 PREMIÈRE PARTIE (13 points) Suite à des problèmes récurrents d’alimentation en eau pour un des hameaux de sa commune, le maire projette de faire construire un château d’eau. Partie A : choix du château d’eau 1. Afin de faire un choix esthétique parmi trois modèles proposés, le maire décide de consulter ses concitoyens. Chaque foyer peut voter une fois, tous les foyers ont voté. Voici les résultats de la consultation : Types de château d’eau Modèle A Modèle B Modèle C Nombre de foyers 12 60 18 Calculer la proportion, en pourcentage, de voix recueillies parmi les foyers de ce hameau pour chacun des trois modèles proposés. Les pourcentages seront arrondis à l’unité de pourcentage. 2. Pour sélectionner le réservoir au volume le plus adapté, le maire décide d’étudier la consommation annuelle d'eau des foyers du hameau et observe qu’en 2019 elle était égale à 10 500 m3. a. Montrer que la consommation moyenne annuelle d’eau par foyer est d’environ 116,67 m3. Sachant qu’un lotissement de 17 logements va être bientôt terminé, le maire décide d’intégrer ces logements à son étude en attribuant à chacun d’entre eux la consommation annuelle d’eau moyenne par foyer du hameau. b. Calculer la consommation annuelle estimée du hameau intégrant les nouveaux logements. On donnera le résultat en mètre cube, arrondi à l’unité. 3. Suite à son enquête et aux conseils d’un bureau d’étude, le maire souhaite choisir un réservoir pouvant contenir au minimum la consommation moyenne de 5 jours du hameau intégrant les nouveaux logements. a. Déterminer la consommation moyenne en 5 jours de l’ensemble des foyers du hameau intégrant les nouveaux logements. Une entreprise propose de construire un réservoir ayant la forme d’une sphère de 7 mètres de diamètre. b. Déterminer le volume de ce réservoir. On donnera l’arrondi du volume au mètre cube. On rappelle que le volume ܸ d’une boule de rayon ݎ est donné par ܸ= ସ ଷ× ߨ× ݎଷ. c. Ce réservoir répond-il aux souhaits du maire ? 4. On considère que le réservoir choisi contient 180 m3 d’eau. Le débit de la pompe qui permet de le remplir est de 40 m3/h. Déterminer le temps nécessaire pour remplir ce réservoir aux trois quarts. Donner la réponse en heure, minute et seconde. Mathématiques PE2-21-G3 Page : 3/9 Partie B : nuisances et impact paysager 1. Pour éviter toute polémique quant au lieu d’implantation du projet, le maire décide d’installer le château à égale distance des trois habitations les plus proches. Pour expliciter ce choix aux habitants, il souhaite représenter la situation par un tracé géométrique. Il désigne par les points H1, H2 et H3 les trois habitations. On sait que les distances entre les habitations sont H1H2 = 1 km, H2H3 = 820 m et H1H3 = 730 m. a. Représenter la situation à l’échelle 1/10 000. b. Placer le point C, tel qu’il soit à égale distance des trois points représentant les habitations. On veillera à laisser les traits de construction et on justifiera le tracé sur la copie. c. En utilisant la figure construite, estimer la distance entre le château d’eau et chacune des 3 habitations. 2. Afin de masquer la vue du château d’eau, un des habitants décide de planter une haie. Afin de choisir l’essence d’arbres à planter, il souhaite connaître la hauteur que devront atteindre ces arbres pour masquer la vue du château d’eau depuis sa terrasse. La figure ci-après, qui n’est pas à l’échelle, représente la situation. Cet habitant est au point G sur sa terrasse, le château d’eau est implanté au point K et on a noté H le point où il souhaite planter une haie pour masquer le château d’eau. On connait les dimensions suivantes : KG = 510 m, GI = 1,80 m et HG = 20 m. La hauteur KB est de 45 mètres. Le point I correspond à l’œil de l’homme et le point J correspond à la hauteur que doivent atteindre les arbres pour masquer la vue du château d’eau. Les points M et N sont situés à 1,80 m du sol. On a ainsi, MI = KG = 510 m et NI = HG = 20 m. Calculer la hauteur minimale HJ des arbres pour que cet habitant ne voie plus le château d’eau lorsqu’il se tient debout sur sa terrasse. On arrondira le résultat au centimètre. Mathématiques PE2-21-G3 Page : 4/9 Partie C : entretien du château d’eau 1. Le réservoir d’eau choisi a une contenance de 180 m3. L’ingénieur informe le maire que l’eau du château d’eau, bien que puisée dans une source, doit être chlorée. Il faut prévoir 0,1 mg de chlore par litre d’eau. Déterminer la quantité de chlore, en gramme, à prévoir au minimum pour 180 m3 d’eau. 2. Pour assurer l’entretien annuel de ce château d’eau, la commune sollicite deux entreprises. • La société Qualiteau propose un forfait annuel de 700 € pour les déplacements puis toute intervention est facturée 350 €. • La société Calmwater propose également un forfait annuel pour les déplacements au tarif de 500 € puis toute intervention est facturée 450 €. On note ݔ le nombre d’interventions annuelles. a. Montrer que le montant annuel ܳሺݔሻ à payer à la société Qualiteau, en fonction de ݔ, est donné par l’expression ܳሺݔሻ= 350ݔ+ 700. b. Exprimer, en fonction de ݔ, le montant annuel ܥሺݔሻ à payer à la société Calmwater. c. Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement les fonctions ܳ et ܥ. On prendra en abscisse 2 cm pour une intervention et en ordonnée 1 cm pour 200 €. d. À partir du graphique construit à la question 2.c., lire le nombre d’interventions annuelles pour lequel le montant de la facture sera le même pour les deux sociétés. Vérifier le résultat trouvé par un calcul. e. Quelle société devient alors la plus avantageuse pour la commune pour un nombre supérieur d’interventions ? 3. Une troisième entreprise, la société Bellacqua, vient de s’implanter dans la région. Elle ne facture aucun déplacement mais propose un tarif par intervention de 550 €. a. Exprimer, en fonction de ݔ, le montant annuel Bሺݔሻ à payer à la société Bellacqua. b. Dans le repère orthogonal construit à la question 2.c., représenter graphiquement le tarif de la société Bellacqua en fonction du nombre ݔ d’interventions. c. La commune souhaiterait faire travailler la société Bellacqua. Lire sur le graphique le nombre maximum d’interventions pour lequel le prix à payer sera plus intéressant que celui des deux autres sociétés. Justifier la démarche. Mathématiques PE2-21-G3 Page : 5/9 DEUXIÈME PARTIE (13 points) Cette partie est composée de trois exercices indépendants. EXERCICE 1 Voici un programme de calcul : • Choisir un nombre entier positif. • Calculer le carré C1 du nombre entier qui le suit. • Calculer le carré C2 du nombre entier qui le précède. • Calculer la différence C1- C2. 1. Vérifier qu’en prenant 5 comme nombre de départ, on obtient 20. 2. On appelle ݔ le nombre de départ, montrer que le résultat obtenu est égal à 4ݔ. 3. Est-il possible d’obtenir 842 ? Si oui, donner le nombre de départ. Sinon, expliquer pourquoi. 4. Déterminer le nombre de départ pour que le programme ait comme résultat 298. On justifiera la réponse. 5. Parmi les trois captures d’écran issues du logiciel SCRATCH, donner, sans justifier, le(s) script(s) qui correspond(ent) au programme de calcul proposé. Script 1 Script 2 Script 3 Mathématiques PE2-21-G3 Page : 6/9 EXERCICE 2 On considère une classe composée de 30 élèves. Certains sont enfants uploads/Societe et culture/ s2021-crpe-gr3-math-1401377.pdf