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PCSI1-PCSI2 DNS n°04 Cahier de vacances 2010-2011 Ce qui suit fera oﬃce de cour

PCSI1-PCSI2 DNS n°04 Cahier de vacances 2010-2011 Ce qui suit fera oﬃce de cours sur les notions d’injection/surjection/bijection. Les exercices obligatoires, à traiter en priorité sont les suivants : 1.4.1, 1.4.2, 1.4.5, 1.4.7 et 2.3.1 et 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4 et 3.2.1, 3.2.5, 3.2.6. Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention. 1 Déﬁnitions de injection-surjection-bijection On considère une application 푓: 퐴→퐵, où 퐴est l’ensemble de départ (ensemble de déﬁnition de l’application) de 푓et 퐵l’ensemble d’arrivée de 푓. Ainsi, pour tout 푥∈퐴, 푓(푥) existe (de manière unique !) et 푓(푥) ∈퐵. On dit que 푓(푥) est l’image de 푥par l’application 푓. Si 푦∈퐵et s’il existe un élément 푥∈퐴tel que 푦= 푓(푥), on dit que 푥est un antécédent de 푦par 푓. 1.1 Injection On dit que 푓: 퐴→퐵est une injection (application injective) si « deux éléments diﬀérents de 퐴ont toujours des images diﬀérentes par 푓(dans 퐵) ». Ceci se traduit par : 푓est injective si : « ∀(푥, 푥′) ∈퐴2 : (푥∕= 푥′) ⇒(푓(푥) ∕= 푓(푥′)) ». Une déﬁnition équivalente (obtenue par contraposition) est : « si deux éléments de 퐴ont la même image alors, nécessairement, ils sont égaux », (ie) « ∀(푥, 푥′) ∈퐴2 : (푓(푥) = 푓(푥′)) ⇒(푥= 푥′) ». Une application 푓: 퐴→퐵est donc injective lorsque tout élément 푦de 퐵possède au plus (0 ou 1) un antécédent 푥dans l’ensemble 퐴(푥tel que 푓(푥) = 푦). Exemple : soit 퐸un ensemble. On note id퐸l’application qui à tout 푥∈퐸associe 푥, c’est à dire : ∀푥∈퐸, id퐸(푥) = 푥. L’application id퐸est une injection, car si (푥, 푥′) ∈퐸2, alors id퐸(푥) = id퐸(푥′) ⇒푥= 푥′. Exemple : soit 푓: ℝ→ℝ, avec 푓(푥) = 푥3. Pour (푥, 푥′) ∈ℝ2, si 푓(푥) = 푓(푥′), alors 푥3 −푥′3 = 0, (ie) (푥−푥′)(푥2 + 푥푥′ + 푥′2) = 0, d’où 푥= 푥′ ou 푥2 + 푥푥′ + 푥′2 = 0, cette dernière égalité entraînant 푥= 푥′ = 0 (pas évident...à vériﬁer !). Dans tous les cas, on a forcément 푥= 푥′. Donc 푓est injective. Méthode : 1. pour montrer qu’une application 푓: 퐴→퐵est injective : on montre que, pour tous les couples (푥, 푥′) d’éléments de 퐴, l’hypothèse 푓(푥) = 푓(푥′) entraine nécessairement 푥= 푥′. 2. pour montrer qu’une application 푓: 퐴→퐵n’est pas injective : il suﬃt de trouver deux éléments 푥et 푥′ distincts (푥∕= 푥′) qui ont la même image par 푓, (ie) vériﬁant 푓(푥) = 푓(푥′). 3. autre méthode : pour prouver que 푓est injective, on montre que, pour tout 푦∈퐵, l’équation «푓(푥) = 푦», d’inconnue 푥, possède au plus (i.e 0 ou 1) solution 푥dans l’ensemble 퐴. Remarque : soit 퐼un intervalle de ℝet soit 푓: 퐼→ℝ. Si 푓est strictement croissante, alors 푓est injective. En eﬀet, si 푥et 푦sont deux éléments distincts de 퐼, on a 푥< 푦ou bien 푦< 푥. Supposons –1/9– Lycée Faidherbe, Lille PCSI1-PCSI2 DNS n°04 Cahier de vacances 2010-2011 que l’on ait 푥< 푦, alors, 푓étant strictement croissante, on a 푓(푥) < 푓(푦) et donc 푓(푥) ∕= 푓(푦). De même si 푦< 푥. De même, si 푓est strictement décroissante, alors 푓est injective. ATTENTION : il est clair que cette dernière remarque ne s’applique pas si on ne connait pas de relation d’ordre ≤sur 퐴ou 퐵(exemple : 퐴= {élèves du lycée Faidherbe}, 퐵= ℂ, 퐴= ℝ3, etc..). 1.2 Surjection On dit que 푓: 퐴→퐵est une surjection (application surjective) si « pour tout élément de 퐵, il existe au moins un antécédent par 푓dans 퐴». Ceci se traduit par : 푓est surjective si : « ∀푦∈퐵, ∃푥∈퐴| 푦= 푓(푥) ». Exemple : l’application id퐸introduite précédemment est une surjection de 퐸dans 퐸, car ∀푦∈퐸, 푦= id퐸(푦), autrement dit : tout élément 푦de 퐸admet au moins un antécédent : lui-même ! Exemple : soit 푓: [−2, +∞[ →[1, +∞[, avec 푓(푥) = 푥2 + 1. Pour tout 푦∈[1, +∞[ : on cherche s’il existe toujours au moins un 푥∈[−2, +∞[ tel que 푦= 푓(푥) = 푥2 + 1. Il est clair que 푥= √푦−1 est une solution, qui existe car 푦≥1, et qui appartient bien à l’ensemble de départ, car 푥≥0 ≥−2. L’application 푓est donc bien surjective. On remarque que pour certains 푦(précisément ceux vériﬁant 1 < 푦≤5), il existe même deux solutions 푥opposées, mais cela n’est pas gênant pour la surjectivité ("au moins un"). Par contre, cela entraîne que 푓n’est pas injective. Méthode : 1. pour montrer qu’une application 푓: 퐴→퐵est surjective : pour tout élément 푦∈퐵, on résout l’équation en 푥: «푓(푥) = 푦» et on prouve qu’il y toujours au moins une solution dans 퐴(ne pas oublier de vériﬁer qu’une solution trouvée est bien dans 퐴). 2. pour montrer qu’une application 푓: 퐴→퐵n’est pas surjective : il suﬃt de trouver au moins un élément 푦dans 퐵tel que l’équation 푦= 푓(푥) n’a pas de solution en 푥, ou a des solutions mais qui n’appartiennent pas à l’ensemble 퐴. 1.3 Bijection On dit que 푓: 퐴→퐵est une bijection (application bijective) si 푓est, à la fois, injective et surjective, autrement si tout élément de 퐵possède un (surjection) et un seul antécédent (injection) dans 퐴par 푓. Ceci se traduit par 푓est bijective si : « ∀푦∈퐵, ∃!푥∈퐴| 푦= 푓(푥) ». On parle aussi de correspondance bi-univoque : chaque élément de 퐴est associé à un élément unique de 퐵par 푓(l’image) et réciproquement (l’antécédent). Exemple : si 퐸est un ensemble quelconque, l’application id퐸est une bijection de 퐸dans lui-même. –2/9– Lycée Faidherbe, Lille PCSI1-PCSI2 DNS n°04 Cahier de vacances 2010-2011 Exemple : soit 푓: [+2, +∞[ →] −∞, −1], avec 푓(푥) = −2푥+ 3. Pout tout réel 푦≤−1, l’équation 푦= −2푥+ 3 possède une unique solution 푥= −1 2 (푦−3) et on montre sans problème que, sous la condition 푦≤−1, la solution 푥trouvée vériﬁe 푥≥+2. L’application 푓est donc bien bijective. Méthode : 1. pour montrer qu’une application 푓: 퐴→퐵est bijective : soit on démontre successivement qu’elle est injective puis surjective, soit on résout, pour tout 푦∈퐵, l’équation d’inconnue 푥, «푦= 푓(푥)». On montre alors qu’il y a toujours une et une seule solution 푥, puis on n’oublie pas de vériﬁer que cette solution 푥est bien dans 퐴. 2. pour montrer qu’une application 푓: 퐴→퐵n’est pas bijective : il suﬃt de prouver qu’elle n’est pas injective, ou qu’elle n’est pas surjective (se reporter aux méthodes précédentes). 1.4 Exercices 1. On pose 푓: 퐴→퐵avec 푓(푥) = 푥2. Préciser 1 dans tous les cas suivants si 푓est injective, surjective, bijective. Présenter les résultats dans un tableau, et dans le cas où 푓n’est pas injective ou surjective, donner simplement un argument frappant. 1. 퐴= ℝ, 퐵= ℝ 2. 퐴= ℝ+, 퐵= ℝ 3. 퐴= ℝ, 퐵= ℝ+ 4. 퐴= ℝ+, 퐵= ℝ+ 5. 퐴= ℝ−, 퐵= ℝ+ 6. 퐴= ℝ−, 퐵= ℝ− 2. (a) On pose 푓:]0, +∞[→ℝ+ avec 푓(푥) = 푥+ 1 푥. Montrer que 푔n’est pas injective. (b) On pose 푔: [+1, +∞[→ℝ+ avec 푔(푥) = 푥+ 1 푥. Montrer que 푔est injective, mais pas surjective. 3. Soit l’ensemble 퐴= ℂ∖{1} et l’application 푓: 퐴 − → ℂ 푧 7− → 푓(푧) = 푧−1 1 −¯ 푧 . (a) Montrer que, pour tout 푧∈퐴, ∣푓(푧)∣= 1 : 푓est-elle surjective ? (b) Résoudre l’équation 푓(푧) = 1 : 푓est-elle injective ? (c) Soit 푎et 푏, deux complexes diﬀérents de 1. Trouver une condition géométrique simple portant sur les points 퐴et 퐵d’aﬃxes 푎et 푏pour que 푓(푎) = 푓(푏). On introduira 퐼, le point d’aﬃxe 1. (d) Soit 휃, un réel appartenant à [0, 2휋[ : résoudre l’équation 푓(푧) = 푒푖휃. En déduire l’ensemble 푓(퐴) : ceci représente l’ensemble de toutes les images, par 푓, des éléments de 퐴(i.e) 푓(퐴) = {푓(푧) ∣푧∈퐴} = {푍∈ℂ∣∃푢∈퐴, 푍= 푓(푢)}. 1. Commencer par tracer la courbe représentative de 푓: ℝ→ℝ. –3/9– Lycée Faidherbe, Lille PCSI1-PCSI2 DNS n°04 Cahier de vacances 2010-2011 4. On considère l’application 푓: ℝ2 − → ℝ2 (푥, 푦) 7− → 푓(푥, 푦) = (푥+ 푦, 푥푦) Prouver, avec le minimum d’arguments, mais avec le maximum d’eﬃcacité, que 푓n’est pas injective, ni surjective. 5. On déﬁnit les ensembles de complexes suivants 푃= {푧∈ℂ∣Im(푧) > 0} et 퐷= {푧∈ℂ∣∣푧∣< 1}. On pose ℎ(푧) = 푧−푖 푧+ 푖. ∙Montrer que l’application ℎ: 푃→퐷est bien déﬁnie : pour cela, il y DEUX choses à prouver. Tout d’abord, ℎ(푧) est bien déﬁni pour tout 푧∈푃, puis ce ℎ(푧) est bien un élément de 퐷. ∙Prouver alors que ℎest bijective : pour cela, il convient de prouver que pour tout 푍∈퐷, l’équation «ℎ(푧) = 푍», d’inconnue 푧, possède UNE et UNE seule solution 푧dans l’ensemble 푃. 6. Soit 풫le plan euclidien et soit 퐷une droite du plan 풫. On considère la projection orthogonale 푝퐷sur la droite 퐷. (a) On considère l’application 푝퐷comme une application de 풫dans 풫. Cette application est-elle alors surjective ? Injective ? (b) On considère l’application 푝퐷comme une application de 풫dans 퐷. Cette application est-elle alors surjective ? Injective ? 7. Soit 푓: ℝ − → 핌 푥 7− → 푓(푥) = 1 −푥2 1 + 푥2 + 푖 2푥 1 + 푥2 où on rappelle que 핌désigne l’ensemble des complexes de module 1. (a) Vériﬁer : pour uploads/Voyage/ bijt.pdf