Cours et exercices corrigés Résistance mécanique des matériaux et deT structur
Cours et exercices corrigés Résistance mécanique des matériaux et deT structures Pierre-Alain Boucard François Hild Jean Lemaitre 2e édition © Dunod, 2007, 2016 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-074931-7 Illustration de couverture :ȱ¸ȱȱȱȱŝǰȱ·ȱȱȱǯȱ ȱ··ǯ Table des matières INTRODUCTION V PRINCIPALES NOTATIONS XIII CHAPITRE 1 • Notions d’ingénierie de la conception 1 1.1 Règles de conception 1 1.2 Règles de dimensionnement 5 1.3 Choix des matériaux 6 1.4 Procédés de fabrication et d’assemblage 9 1.5 Calculs de prédimensionnement 11 1.6 Calculs de vérification 11 1.7 Prototypes 12 1.8 Vieillissement, contrôle des pièces en service 15 Pour en savoir plus 19 CHAPITRE 2 • Déformations, contraintes, élasticité, résistance 21 2.1 Définition des déformations 21 2.1.1 Déformation normale 22 2.1.2 Déformation tangentielle 23 2.2 Efforts appliqués 25 2.2.1 Notion de coupure 25 2.2.2 Bilan des efforts 27 2.3 Définition des contraintes 29 2.3.1 Contrainte normale 29 2.3.2 Contrainte tangentielle 31 2.4 Élasticité unidimensionnelle 33 2.4.1 Traction ou compression simples 34 2.4.2 Cisaillement simple 35 2.5 Critères simples de résistance 37 2.5.1 Contraintes maximales 37 2.5.2 Déformations maximales 39 2.6 Énergie de déformation 40 Pour en savoir plus 44 CHAPITRE 3 • États simples de contraintes unidimensionnelles 45 3.1 Hypothèses cinématiques et statiques 45 3.1.1 Schématisation des appuis 46 3.1.2 Isolement d’un système 48 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 3.2 Les grands principes de la mécanique 50 3.2.1 Principe de l’équilibre, principe de conservation de l’énergie 50 3.2.2 Théorèmes de l’énergie 52 3.3 Fils, barres, poutres, colonnes sollicités axialement 55 3.3.1 États de contraintes uniformes 55 3.3.2 Contraintes variables dans l’espace 57 3.4 Systèmes articulés de treillis 59 3.4.1 Isolement des barres et des nœuds 59 3.4.2 Résolution par les méthodes énergétiques 63 3.5 Poutres sollicitées en flexion 67 3.5.1 Équations générales 67 3.5.2 Poutres isostatiques et hyperstatiques 75 3.6 Axes sollicités en torsion 76 3.6.1 Torsion des arbres cylindriques 76 3.6.2 Calcul des ressorts à boudin 79 3.7 Efforts tranchants et cisaillement 82 3.7.1 Efforts tranchants dans les poutres courtes 82 3.7.2 Cisaillement des éléments d’assemblage 83 3.7.3 Déformations de cisaillement dans un matériau composite 85 Pour en savoir plus 87 CHAPITRE 4 • Déformations, contraintes, élasticité tridimensionnelles 89 4.1 Matrices des déformations 89 4.1.1 Déformations normales 90 4.1.2 Déformations tangentielles 92 4.2 Matrices des contraintes 96 4.2.1 Vecteur contrainte 97 4.2.2 Réciprocité des contraintes tangentielles 99 4.3 Mesure des déformations 102 4.3.1 Les jauges de déformation 102 4.3.2 Mesure de champs de déplacements par corrélation d’images numériques 105 4.4 Loi tridimensionnelle d’élasticité linéaire isotrope 112 4.4.1 Loi de Hooke 112 4.4.2 Thermoélasticité 115 4.5 Énergie de déformation 118 4.5.1 Énergies hydrostatique et de distorsion 119 4.5.2 Énergie élastique 121 4.6 Théorèmes de l’énergie pour les milieux continus 123 4.6.1 Théorème de l’énergie potentielle 123 4.6.2 Théorème de l’énergie complémentaire 124 Pour en savoir plus 125 CHAPITRE 5 • Problèmes plans et axisymétriques 127 5.1 Équations de la mécanique des milieux continus 127 5.1.1 Équations d’équilibre 128 5.1.2 Méthodes de résolution 130 IV Table des matières 5.2 Problèmes plans 131 5.2.1 Contraintes planes 131 5.2.2 Déformations planes 135 5.3 Solides axisymétriques 138 5.3.1 Équations d’équilibre 139 5.3.2 Déformations et contraintes 144 5.4 Plaques minces sollicitées en flexion 147 5.4.1 Équations d’équilibre en tension et flexion 147 5.4.2 Contraintes et déformations de flexion pure 148 5.5 Concentrations de contraintes 148 5.5.1 Coefficient de concentration de contrainte 149 5.5.2 Valeurs de coefficients de concentration de contrainte 150 Pour en savoir plus 157 CHAPITRE 6 • Plasticité, critères de ruine 159 6.1 Aspects phénoménologiques 159 6.1.1 Mécanisme physique de déformation plastique 160 6.1.2 Loi de comportement plastique unidimensionnelle 162 6.2 Loi tridimensionnelle de comportement plastique à écrouissage isotrope 164 6.2.1 Notion de contrainte et déformation équivalentes 165 6.2.2 Loi d’évolution de Prandtl-Reuss 166 6.3 Cas des chargements proportionnels 168 6.3.1 Loi de Hencky-Mises 169 6.3.2 Extension à la viscoplasticité 171 6.4 Chargements cycliques 174 6.4.1 Écrouissage cinématique linéaire 174 6.4.2 Loi cyclique 177 6.5 Calculs simplifiés des structures en élasto-plasticité 178 6.5.1 Concentrations de contraintes par la méthode de Neuber 178 6.5.2 Méthode de l’énergie uniforme 181 6.6 Analyse limite 184 6.7 Critères de ruine 185 6.7.1 Limite d’élasticité, limite de rupture 185 6.7.2 Limite d’endurance à la fatigue 191 Pour en savoir plus 194 CHAPITRE 7 • Méthode des éléments finis 195 7.1 Méthode de Rayleigh-Ritz 196 7.1.1 Rappel du théorème de l’énergie potentielle 196 7.1.2 Mise en œuvre pratique 197 7.2 Une introduction à la méthode des éléments finis 201 7.2.1 Formulation 202 7.2.2 Démarche de la résolution 205 7.3 Problèmes à une dimension 207 7.3.1 Étude de l’élément linéaire L1 207 7.3.2 Résolution d’un problème 209 Table des matières V © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. VI Table des matières 7.4 Extensions 217 7.4.1 Au niveau de la formulation 217 7.4.2 Au niveau du maillage 218 7.4.3 Corrléation d’images avec une cinématique d’éléments finis 219 7.5 Utilisation des logiciels de calculs par éléments finis 221 7.5.1 Mise en données 221 7.5.2 Analyse des résultats 222 7.6 Aperçu sur les problèmes non linéaires 223 Pour en savoir plus 225 CHAPITRE 8 • Mécanique élémentaire des vibrations 227 8.1 Systèmes discrets conservatifs 227 8.1.1 Système à un degré de liberté 228 8.1.2 Système à « n » degrés de liberté 230 8.2 Vibrations amorties 235 8.2.1 Frottement visqueux et frottement sec 236 8.2.2 Système à un degré de liberté 237 8.3 Vibrations forcées 240 8.3.1 Résonance 240 8.3.2 Systèmes d’amortissement 243 8.4 Systèmes continus 246 8.4.1 Vibration des poutres 246 8.4.2 Discrétisation par la méthode des éléments finis 250 8.5 Méthodes expérimentales 251 8.5.1 Excitateurs et capteurs 252 8.5.2 Mesures 256 Pour en savoir plus 258 CHAPITRE 9 • Endommagement, fissuration, rupture 259 9.1 Aspects phénoménologiques 259 9.1.1 Sollicitations monotones 260 9.1.2 Sollicitations cycliques 264 9.2 Endommagement 265 9.2.1 Lois de comportement des matériaux endommagés 265 9.2.2 Lois d’évolution de l’endommagement 268 9.3 Calculs d’endommagement ductiles 271 9.3.1 Sollicitations monotones 271 9.3.2 Fatigue à faible nombre de cycles 274 9.4 Calculs d’endommagement fragile 278 9.4.1 Sollicitations monotones 278 9.4.2 Vers un crtière de dimensionnement probabiliste 281 9.4.3 Fatigue à grand nombre de cycles 283 9.5 Fissuration 287 9.5.1 Analyse du milieu fissuré 287 9.5.2 Rupture par instabilité 292 9.6 Propagation des fissures 294 9.6.1 Déchirure ductile 294 9.6.2 Progression par fatigue 296 Pour en savoir plus 299 CHAPITRE 10 • Instabilité de flambement, frottements, usure 301 10.1 Flambement des colonnes élancées 302 10.1.1 Solution d’Euler 302 10.1.2 Influence des conditions aux limites 306 10.2 Flambement des structures 308 10.2.1 Prise en compte des conditions aux limites 309 10.2.2 Influence d’un défaut : cas du défaut de forme initial 310 10.2.3 Méthode des éléments finis 313 10.2.4 Analyse expérimentale du flambage 313 10.3 Contacts 315 10.3.1 Contact élastique de Hertz 315 10.3.2 Contact élasto-plastique, matage 319 10.4 Frottements 320 10.4.1 Adhérence 320 10.4.2 Loi de frottement 322 10.5 Usure des pièces 324 10.5.1 Modèles d’usure des pièces en contact 324 10.5.2 Corrosion 327 Pour en savoir plus 329 INDEX 331 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Table des matières VII Introduction Pour cette nouvelle édition augmentée de progrès récents, tout est encore dans le titre (ou presque !), titre légèrement modifié pour bien marquer les deux compo- santes physique et mathématique intimement liées dans la Résistance mécanique des matériaux et des structures. Il s’agit tout d’abord de Structures, c’est-à-dire de solides dont la forme est imposée par les fonctions à réaliser : une brosse à dents doit avoir un manche, un tuyau se doit d’être creux, le profil d’une aile d’avion résulte d’une étude de moin- dre résistance aérodynamique, les assemblages par rivets ou boulons nécessitent des trous qui compliquent souvent l’architecture des pièces. Il s’agit ensuite de Matériaux, c’est-à-dire de corps dont la composition chi- mique détermine leurs propriétés intrinsèques (métaux et alliages, polymères, com- posites, bétons, bois…). Leur choix, dans la conception de tout objet, est primordial pour des raisons de sécurité, d’économie, de durabilité, de masse et aussi d’esthé- tique. Il s’agit également de Mécanique, c’est-à-dire de l’étude du comportement des solides à l’échelle macroscopique humaine, du plus grand des barrages, avion ou centrale nucléaire au plus petit circuit électronique imprimé ou prothèse dentaire ; étant entendu que le plus petit élément de matière étudié est considéré comme continu. C’est le Volume Élémentaire Représentatif de l’échelle mésoscopique (0,01 à 1 mm pour fixer les idées). Plus petit, c’est l’échelle microscopique voire nanométrique de la physique du solide. À l’autre extrémité, c’est la cosmologie à l’échelle de l’univers. Le terme mécanique définit aussi les outils, c’est-à-dire les variables dont les relations mutuelles décrivent le comportement : essentiellement les déplacements ou déformations si elles sont rapportées à l’élément de volume, les forces ou contraintes, la température et le temps. La mécanique des milieux conti- nus n’explique pas la nature profonde des phénomènes, elle les utilise. Il s’agit surtout de Résistance, c’est-à-dire de la capacité des éléments à fonc- tionner correctement pendant le temps d’utilisation estimé : quelques dizaines de © Dunod. Toute reproduction uploads/Voyage/ feuilletage 1 .pdf
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- Publié le Apv 19, 2021
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