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Mécanique des milieux continus et discrets Nicolas MOËS EI1 ÉCOLE CENTRALE DE N

Mécanique des milieux continus et discrets Nicolas MOËS EI1 ÉCOLE CENTRALE DE NANTES Table des matières 1 Pourquoi la mécanique des milieux continus 6 1.1 De la mécanique du point matériel à la mécanique des milieux continus . . . . 6 1.2 La mécanique des milieux continus au centre des disciplines de l’ingénieur . . . 7 1.3 Notion de milieu continu et d’échelle d’observation . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Système d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Éléments de calcul tensoriel 11 2.1 Convention de sommation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Symbole de permutation dit de Lévi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7 Tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8 Étude des tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8.1 Tenseur identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8.2 Tenseur symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8.3 Trace d’un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.8.4 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.8.5 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.8.6 Représentation spectrale d’un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.9 Formule d’intégration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.9.1 Formule de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.10 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.11 Systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.11.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.11.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.11.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.11.4 Formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Description de la cinématique d’un milieu continu 23 3.1 Trajectoire et dérivées temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Gradient de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Déﬁnition des tenseurs de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Interprétation des composantes des tenseurs de déformations . . . . . . . . . . 30 3.5 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Changement de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Changement de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.8 Taux de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.9 Déformations en petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.9.1 Formulation de l’hypothèse des petites perturbations (HPP) . . . . . . 36 3.9.2 Simpliﬁcation des résultats dans l’hypothèse HPP . . . . . . . . . . . 37 2 Table des matières 3.9.3 Conditions de compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . 41 3.9.4 Directions principales des déformations et cercle de Mohr . . . . . . . 42 3.9.5 Dépouillement d’une rosette en extensométrie . . . . . . . . . . . . . 43 4 Lois de bilan 45 4.1 Forme globale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Forme locale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Conséquences des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3.1 Conséquences de la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3.2 Conséquences du bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . 53 4.3.3 Conséquences de la bilan du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.4 Conséquences du bilan de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5 Le tenseur des contraintes 56 5.1 Introduction du tenseur des contraintes par extension de la mécanique des solides indéformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.1 Volume élémentaire au sein du milieu . . . . . . . . . . . . . . uploads/Voyage/ mecanique-des-milieux-continus 1 .pdf