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primitives 1 Calculs de primitives et d ? intégrales Dans ce chapitre on aborde exclusivement les calculs de primitives ou d ? intégrales comme le prévoit le programme o ?ciel La théorie de l ? intégration est repoussée au deuxième semestre Plan du chapit

Calculs de primitives et d ? intégrales Dans ce chapitre on aborde exclusivement les calculs de primitives ou d ? intégrales comme le prévoit le programme o ?ciel La théorie de l ? intégration est repoussée au deuxième semestre Plan du chapitre Primitives et intégrales rappels de Terminale et compléments page Primitives page Formulaires de primitives usuelles page Intégrales page Intégrale fonction de la borne supérieure page La formule d ? intégration par parties page Changements de variable page La formule de changement de variables page Quelques applications page Quelques situations usuelles page Primitives de ax bx c a page Primitives de fonctions transcendantes dont la dérivée est algébrique ln Arcsin Arctan page Produit d ? une exponentielle et d ? un polynôme page Produit d ? une exponentielle et d ? un sinus ou d ? un cosinus page Polynômes trigonométriques page Fractions rationnelles en sin x cos x et tan x page Fractions rationnelles en ex ch x sh x et th x page c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés http www maths-france fr C Primitives et intégrales rappels de Terminale et compléments Primitives Dé ?nition Soit f une fonction dé ?nie sur un intervalle I de R Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que F ?? f Par exemple les fonctions F x ? x et F x ? x sont deux primitives de la fonction f x ? x sur R On admet pour l ? instant le théorème suivant Théorème Soit f une fonction dé ?nie sur un intervalle I de R à valeurs dans R resp C Si f est continue sur l ? intervalle I alors f admet au moins une primitive sur I Si F est une primitive de f sur I les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x ? F x C o? C ?? R resp C Pour tout x y ?? I ? R resp I ? C il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que F x y Commentaire Il ne faut pas considérer le comme une anecdote Il existe des fonctions très simples qui n ? admettent pas de primitive Considérons par exemple la fonction f ? R o? E x désigne la partie entière du réel x x ? E x Pour tout x de on a f x si x si x Supposons par l ? absurde que la fonction f admette une primitive F sur F est une fonction dérivable sur de dérivée nulle sur Donc F est constante sur Mais F étant dérivable sur F est en particulier continue sur Puisque F est constante sur et continue sur F est constante sur Mais alors puisque F est constante sur sa dérivée F ?? est nulle sur ou encore f est nulle sur ce qui n ? est pas La fonction f n ? admet donc pas de primitive sur Formulaires de primitives usuelles