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23 chap2structures alg Chapter head Chapitre Groupes anneaux corpsIntroduction Pourquoi les groupes Il est bien clair pour le géomètre que si l ? on démontre une propriété pour tous les cercles centrés en un point O du plan alors cette propriété est valab

Chapter head Chapitre Groupes anneaux corpsIntroduction Pourquoi les groupes Il est bien clair pour le géomètre que si l ? on démontre une propriété pour tous les cercles centrés en un point O du plan alors cette propriété est valable pour tous les cercles quelle que soit la place de leur centre Il est bien clair aussi que parmi les entiers n entre et dénombrer les pairs ou les impairs donne le même résultat Aussi pour démontrer qu ? une application h du plan a ne euclidien qui préserve les angles orientés s ? exprime en a xes complexes par h z az b on peut supposer que h et h L ? idée mathématique qui suggère ces remarques est la même dans les trois cas Dans ces situations comme dans de nombreuses autres en mathématiques ce que l ? on souhaite étudier n ? est pas vraiment un objet particulier mais des propriétés de cet objet indépendantes de sa position particulière dans l ? espace ou de sa position dans un ensemble particulier qui le contient ou du nom qui a été donné de manière temporaire à cet objet Dans ce cas-là on peut utiliser des transformations de l ? espace pour déplacer l ? objet ou l ? envoyer sur un autre objet qui lui ressemble nous dirons isomorphe qui a la même forme Les ensembles de transformations que l ? on est amené à considérer possèdent à chaque fois les propriétés d ? un groupe Voici le pourquoi ? des groupes Les nombreux exemples à notre disposition illustreront ces propos un peu abstraits dans une profusion de situations très concrètes De ? nition On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application de E E dans E Une loi de composition interne sur E est souvent notée E E E x y x y ou Exemples L ? addition et la multiplication sont des lci dans N Pour tout ensemble X la réunion et l ? intersection sont des lci dans P X De ? nition Une lci dans un ensemble E est dite associative si x y z E x y z x y z Exemples L ? addition et la multiplication dans C sont associatives La lci Q Q x y x y n ? est pas associative puisque et C Notations Soient E un ensemble ou ou une lci associative dans E n N x xn E x E On note i n xi x x xn Yn Xn xi x x xn xi x x xn i xn x x i x xn xx x nx x x x n termes ou facteurs en particulier x x De ? nition On dit que deux éléments x y d ? un magma E commutent ou permutables si x y y x De ? nition Une lci dans un ensemble E est dite commutative si x y E x y y x Exemples L ? addition et la multiplication dans C sont