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Ch 3 l x27 ordre dans r 1ere partie

I Les intervalles de Dé ?nitions a Représentation graphique de L ? ensemble des nombres réels est habituellement représenté sous la forme d ? une droite graduée à chaque point de la droite est associé un unique nombre réel appelé abscisse de ce point Exemple Les abscisses des points A B C D E et F sont respectivement xA xB xC xD - xE et xF - ?? b Les intervalles de Un intervalle de est représenté par un segment une demi-droite ou par la droite toute entière Chaque intervalle est associé à une inégalité ou un encadrement concernant les abscisses des points de la droite appartenant à ce segment ou cette demi-droite Soit A et B deux points de la droite d ? abscisses respectives a et b a b et soit M un point de la droite d ? abscisse x On obtient donc les di ?érents intervalles suivants Tableau récapitulatif des neufs intervalles de Les neuf types d ? intervalles sont dans le tableau ci-dessous CM Nombres x Représentation graphique M ?? AB Intervalle fermé borné M ?? AB M ?? AB M ?? AB M ?? AB M ?? AB Intervalle ouvert borné Intervalle semi-ouvert à droite borné Intervalle semi- ouvert à gauche borné Intervalle fermé in ?ni Notation intervalle a b a b a b a b a ? a ? M ?? BA M ?? BA M ?? d ?? Intervalle ouvert in ?ni Intervalle fermé in ?ni Intervalle ouvert in ?ni - ? b - ? b - ? ? CRemarques On dit qu ? un intervalle est fermé si ses extrémités lui appartiennent Par exemple ou - ? sont des intervalles fermés On dit qu ? un intervalle est ouvert si ses extrémités ne lui appartiennent pas Par exemple - ou - ? sont des intervalles ouverts L ? ensemble est aussi un intervalle il peut se noter - ? ? L ? ensemble ne contenant aucun réel est aussi un intervalle c ? est l ? intervalle vide il se note ? Le symbole ? se lit in ?ni Dans le paragraphe suivant nous allons voir plus en détail ces neufs intervalles de Les neufs intervalles de explication détaillée a Les intervalles fermés bornés Soit et deux nombres réels On appelle intervalle fermé borné de à et on note le sous-ensemble de contenant tous les nombres réels compris entre et les nombres et sont eux-mêmes éléments de ?? Remarques Les nombres et sont appelés bornes de l ? intervalle Si on adopte la convention ? ensemble vide Si alors L ? intervalle dans ce cas est réduit à un singleton Si alors contient une in ?nité de nombres mais sa longueur est ?nie et vaut On peut en donner la représentation géométrique suivante Cb Les intervalles ouverts bornés Soit et deux nombres réels On appelle intervalle ouvert borné de à et on note le sous-ensemble de contenant tous les nombres réels compris entre et les nombres et ne sont eux-mêmes pas