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Ch4 fonctions derivables Chapitre Fonctions d ?erivables Fonctions d ?erivables D ?e ?nition Soit I un intervalle de R x un point de I et f une fonction de I dans R On dit que f est d ?erivable en x si la limite suivante existe et est ?nie x lim f ? x x x

Chapitre Fonctions d ?erivables Fonctions d ?erivables D ?e ?nition Soit I un intervalle de R x un point de I et f une fonction de I dans R On dit que f est d ?erivable en x si la limite suivante existe et est ?nie x lim f ? x x x ?? ?? f x x ? ?? R Cette limite est appel ?ee d ?eriv ?ee de f au point x et on la note par f ?? x On peut avoir la d ?e ?nition analogue suivante f est d ?erivable en x ?? lim f h ? x h ?? h f x f ?? x ?? R D ?e ?nition - On dit que f est d ?erivable agauche resp a droite en x si le rapport f x ?? f x x ?? x admet une limite ?nie agauche resp a droite en x et cette limite est appel ?ee d ?eriv ?ee a gauche resp a droite de f au point x Pour que f soit d ?erivable en x il faut et il su ?t que f soit d ?erivable agauche eta droite de x et que les deux limites soient ?egales ? ie x lim ? x f x x ?? ?? f x x x lim ? x f x ?? f x x ?? x f ?? x Une fonction d ?e ?nie d ? un intervalle ouvert I de R dans R est dite d ?erivable sur I si elle est d ?erivable en tout point de I Exemples - Toute fonction polyno me de degr ?e n est d ?erivable sur R et sa d ?eriv ?ee est un polyn ome de degr ?e n ?? Toute fonction rationnelle quotient de deux polyno mes est d ?erivable sur son domaine de d ?e ?nition et sa d ?eriv ?ee est une fonction rationnelle C ? Fonctions d ?erivables ?? - La fonction f d ?e ?nie par f x x est d ?erivable en x en e ?et ?? ?? lim x ? x ?? x ?? lim x ? ? ? ?? ?? x ?? f ?? La fonction f d ?e ?nie par f x x est continue mais n ? est pas d ?erivable au point x car les limites agauche et a droite en sont di ? ?erentes en e ?et lim x ? x ?? x ?? lim x ? ??x x ?? lim x ? x ?? x ?? lim x ? x x ? La fonction exp est d ?erivable sur R et on a exp x ?? ex ?? exp x ??x ?? R La fonction ln est d ?erivable sur ? et on a ln x ?? x ??x ?? ? La fonction loga est d ?erivable sur ? et on a loga ?? x x ln a ??x ?? ? La fonction puissance ax avec a est d ?erivable sur R et on a ax ??