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Correction dm mex Amérique du Nord mai EXERCICE Candidats ayant suivi l ? enseignement de spécialité points Deux matrices colonnes x y et x' y' à coe ?cients entiers sont dites congrues modulo si et seulement si x ??x ' y ??y ' Deux matrices carrées d ? o

Amérique du Nord mai EXERCICE Candidats ayant suivi l ? enseignement de spécialité points Deux matrices colonnes x y et x' y' à coe ?cients entiers sont dites congrues modulo si et seulement si x ??x ' y ??y ' Deux matrices carrées d ? ordre a b a ??a ' si et seulement si b ?? b ' c ??c ' c d et a' b' c ' d' à coe ?cients entiers sont dites congrues modulo d ??d ' Alice et Bob veulent s ? échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous Ils choisissent une matrice M carrée d ? ordre à coe ?cients entiers Leur message initial est écrit en lettre majuscule sans accent Remarque la lettre W est remplacée par les deux lettres accolées V Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne x y déduite du tableau ci-dessus x est le chi ?re situé en haut de la colonne et y est le chi ?re situé à gauche de la ligne par exemple la lettre T d ? un message initial correspond à la matrice colonne On calcule une nouvelle matrice x' y' en multipliant x y à gauche par la matrice x' y' M x y On calcule r ? et t ? les restes respectifs des divisions euclidiennes de x ? et y ? par On utilise le tableau ci-dessus pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne r' t' Alice et Bob choisissent la matrice M a Montrer que la lettre T ? du message initial est codée par la lettre U ? puis coder le message TE ? b On pose P Montrer que les matrices PM et I sont congrues modulo c On considère A et A ? deux matrices carrées d ? ordre à coe ?cients entiers congrues modulo et Z x y Z ? x' y' deux matrices colonnes à coe ?cients entiers congrues modulo Montrer alors que les Copyright ? meilleurenmaths com Tous droits réservés Page Cmatrices AZ et AZ ? sont congrues modulo Amérique du Nord mai Dans ce qui suit on admet que si A et A ? sont deux matrices carrées d ? ordre à coe ?cients entiers congrues modulo et si B et B ? sont deux matrices carrées d ? ordre à coe ?cients entiers congrues modulo alors les les matrices produit AB et A ? B ? sont congrues modulo d On note X x x et Y y y deux matrices colonnes à coe ?cients entiers Déduire des questions pré- cédentes que si MX et Y sont sont congrues modulo alors les matrices X et PY sont congrues modulo ce qui permet de décoder ? une lettre chi ?rée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la ma- trice M choisie e Décoder la lettre D ? On souhaite déterminer si la matrice R peut être utilisée pour coder un message a On pose S Véri ?er que la matrice RS