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Cours coniques 9 c Christophe Bertault - MPSI Coniques Historiquement les coniques ont été dé ?nies par les Grecs comme intersections d ? un cône et d ? un plan dans l ? espace ?? d ? o? leur nom Nous les dé ?nirons quant à nous en les observant non pas d

c Christophe Bertault - MPSI Coniques Historiquement les coniques ont été dé ?nies par les Grecs comme intersections d ? un cône et d ? un plan dans l ? espace ?? d ? o? leur nom Nous les dé ?nirons quant à nous en les observant non pas dans l ? espace mais dans le plan Le point de vue des Grecs sera tout de même commenté avec quelques ?gures en ?n de chapitre Dé ?nition par excentricité foyer et directrice Dé ?nition Conique dé ?nie par son excentricité un foyer et une directrice Soient F un point D une droite ne contenant pas F et e On appelle conique d ? excentricité e de foyer F et de directrice associée D l ? ensemble C des points M du plan pour lesquels M F e d M D ? Si e on dit que C est une ellipse ? Si e on dit que C est une parabole ? Si e on dit que C est une hyperbole Ellipse Parabole Hyperbole Explication On peut formuler les choses en termes de lignes de niveau Soit M un point Notons H le projeté orthogonal H de M sur D de sorte que d M D M H Dans ces conditions M ?? C ? ?? M F eM H d M D M MF Mais le point H appartient-il à C Si c ? est le cas HF e ? donc F H ?? D contrairement à nos hypothèses Conclusion H ?? C donc M H pour tout M ?? C D F Finalement C est l ? ensemble des points M du plan tels que MF MH e i e la ligne de niveau e de la fonction M ?? ? MF MH Donnons-nous pour tout le reste de cette partie un point F une droite D ne contenant pas F et e Notons C la conique d ? excentricité e de foyer F et de directrice associée D P le projeté orthogonal de F sur D et posons d F P Par dé ?nition le produit p ed est appelé le paramètre de C et la droite P F est appelé son axe focal Posons en outre ?? ?I P ?? ?F d et notons ? ??J l ? unique vecteur direct Pour tout point M de coordonnées x y dans F pour lequel F ? ??I ? ??I ?? ?J de projeté ? ??J est un repère orthonormal orthogonal H sur D D P ?? ?J ?? ?I d F M ??C ? ?? M F e M H ? ?? x y e x d ? ?? ?? e x y ?? epx ?? p Dé ?nition Conique à centre On suppose ici que e i e que C est soit une ellipse soit une hyperbole ? Alors C possède un unique centre de symétrie appelé le centre de C ? On note ce centre et F ?? resp D ?? le symétrique de F resp