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Deriv Annexe A dérivées et intégrales un bref survol Bien que vous ayez déjà vu une partie de ces sujets au niveau collégial et qu'en MAT- ils seront revus en détails on peut néanmoins examiner rapidement ce que représente une dérivée ou une intégrale pou

Annexe A dérivées et intégrales un bref survol Bien que vous ayez déjà vu une partie de ces sujets au niveau collégial et qu'en MAT- ils seront revus en détails on peut néanmoins examiner rapidement ce que représente une dérivée ou une intégrale pour comprendre l'importance de ces sujets en sciences et en génie LA DÉRIVÉE Considérons le problème physique suivant on veut étudier le mouvement d'une particule ou d'un objet dans une direction donnée il s'agit d'un mouvement rectiligne Posons x t la position de l'objet au temps t La position de l'objet est en mètres m et le temps est en secondes s Pour étudier ce mouvement on doit établir un référentiel c'est-à-dire une origine et une direction positive - x On a ici un graphique qui représente un objet qui se situe un mètre à gauche de l'origine Soit pour une expérience donnée le graphique suivant qui représente la fonction x t x - x t t o? t varie entre et secondes La quantité x ?? x ?? ?? m représente la variation de la position pendant les premières secondes Si on divise ce résultat par le temps écoulé c'est-à-dire secondes on obtient la vitesse moyenne m s Cpage A Annexe A dérivées et intégrales Et si on voulait la vitesse à l'instant t s En regardant le graphique on voit que la vitesse de l'objet a varié pendant l'expérience En e ?et si la vitesse avait été constante à m s on aurait eu le mouvement suivant La vitesse est alors égale à la pente de la droite précédente Si on veut conna? tre la vitesse à un instant précis on pourrait mesurer celle-ci en demandant que la vitesse arrête de varier à cet instant x x t t - Sur le graphique précédent la courbe pleine représente la position de l'objet en fonction du temps À partir de t s la droite pointillée représente la position si la vitesse demeurait constante et égale à sa valeur à cet instant Donc pour conna? tre la valeur de la vitesse à t s il su ?t d'évaluer la pente de la droite pointillée Et on remarque que cette droite est tangente à la courbe en t Finalement pour avoir la vitesse de l'objet à un instant t donné on n'a qu'à tracer la tangente à la courbe position à cet instant t et calculer la pente de cette droite Malheureusement si on veut conna? tre la vitesse à plusieurs moments di ?érents ce travail peut devenir fastidieux De plus tracer une tangente peut s'avérer di ?cile à appliquer en pratique On peut cependant approximer la vitesse en t de la façon suivante choisir t t de telle façon que t ?? t soit très petit alors v t x t ??x t t ?? t En e ?et si t est proche de t alors la vitesse moyenne de t à t sera proche de la vitesse réelle à t CAnnexe A dérivées et intégrales page