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Ds05 1920 Année Scolaire ?? MATHÉMATIQUES MPSI DS N ? Samedi h Les candidats sont invités à composer avec une encre suf ?samment visible en bleu foncé ou en noir par exemple le bleu p? le est à proscrire Les candidats sont également invités à porter une a

Année Scolaire ?? MATHÉMATIQUES MPSI DS N ? Samedi h Les candidats sont invités à composer avec une encre suf ?samment visible en bleu foncé ou en noir par exemple le bleu p? le est à proscrire Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu ? à la rédaction les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés La calculatrice les formulaires et les téléphones sont interdits Problème Les parties I et II sont indépendantes Partie I Une caractérisation du pgcd Soit f N ? ? N ? ? N ? une application véri ?ant trois hypothèses F F F F F F H ?? a ?? N ? f a a a F F H ?? a b ?? N ? ? N ? f a b f b a F F F F F F H ?? a b ?? N ? ? N ? f a b f a a b Le but de cette partie est de déterminer f Q Calculer f en justi ?ant chaque étape du calcul Q Montrer que pour tout n ?? N ? f n Q Montrer que pour tout a ?? N ? et n ?? N ? f a an a Q Soient a b r ?? N ? et q ?? N tels que a bq r Montrer que f a b f b r Q Soient a b ?? N ? démontrer à l ? aide de l ? algorithme d ? Euclide que f a b pgcd a b Partie II Valuation p-adique Si p est un nombre premier et n ?? N ? on note vp n valuation p-adique de n le plus grand entier naturel k tel que pk n c ? est aussi l ? exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers On rappelle qu ? un entier n ?? N ? divise un entier m ?? N ? si et seulement si pour tout nombre premier p on a vp n vp m Q Exemples et propriétés sur les valuations a Déterminer v v v v b Soit n ?? N ? et p premier soit k ?? N démontrer que vp n k ? ?? ??q ?? N n pk ? q avec p q Cc Pour n m ?? N ? et p premier démontrer que vp nm vp n vp m d Soit n ?? N ? et p premier montrer que vp n Kn p o? Kn p ln n ln p Q Soit n ?? N ? et p premier a Soit m ?? N ? démontrer que le nombre de multiples de m dans l ? intervalle n est de n m b Soit k ?? N on note np k que le nombre d ? entiers dans l ? intervalle n dont la valuation p-adique vaut exactement k