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Groupes quotients Groupes quotients Introduction La notion de relation d ? équivalence utilisée au niveau des groupes va nous fournir un moyen de construire des groupes Ces groupes s ? appellent les groupes quotients et leur importance est capitale en mat

Groupes quotients Introduction La notion de relation d ? équivalence utilisée au niveau des groupes va nous fournir un moyen de construire des groupes Ces groupes s ? appellent les groupes quotients et leur importance est capitale en mathématique Construction du quotient d ? un groupe Dans toute cette leçon G désigne un groupe et H désigne un sous groupe de G On considère aussi la relation si x et y sont éléments de G ? x y x ? y H ? ? ? Proposition La relation dé ?nie par x y x y H est une relation d ? équi- valence Démonstration Triviale Dé ?nition On notera G H l ? ensemble G des classes d ? équivalences de la re- lation sur G Proposition Soit x G La classe d ? équivalence de x pour la relation ? x y y ? x H ? ? ? ? est l ? ensemble Hx x h y H Démonstration Soit y G équivalent à x pour la relation Alors il existe h H ? tel que x y h Et donc y est élément de Hx Réciproquement si y est élémennt de xH il est clair que y x Dé ?nition L ? ensemble xH s ? appelle classe à gauche de l ? élément x de G Remarque On aurait aussi put dé ?nir notre relation d ? équivalence par x y ? y ? x H ? Dans ce cas la classe d ? équivalence d ? un élément x de G aurait été donné par l ? ensemble Hx CDé ?nition L ? ensemble Hx s ? appelle classe à droite de l ? élément x de G Proposition Si H est un sous groupe ?ni de G et si x et y sont deux éléments de G alors les classes d ? équivalences à gauche ou à droite de x et y pour la relation ont même nombre d ? éléments et ce nombre est égal au cardinal de H ? Démonstration Soit x un élément de G Posons f H xH h f h x h f est injective car si h et h ? sont des éléments de H tels que f h f h alors on a l ? éga ? ? lité x h x h et x étant élément du groupe G ceci implique en multipliant à gauche chacun des membres de l ? égalité précédente par x que h h ? f est aussi surjective car ? si y est un élément de xH alors il existe h H tel que y x h et donc y f h f étant à la fois injective et surjective elle est bijective Ceci prouve que H et xH ont même nombre d ? éléments Mais si y est un élément de G yH et H auront aussi même nombre d ? éléments Donc xH et yH ont même cardinal De même on montrerait que toutes les classes à droite pour