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Td2 gp19 m12b UNIVERSITE HASSAN II Ecole Supérieure de Technologie Département Génie des procédés GP Compléments de Mathématiques M B Liste d'exercices Fonctions à plusieurs variables réelles Exercice Déterminer les C domaines de dé nition des fonctions s

UNIVERSITE HASSAN II Ecole Supérieure de Technologie Département Génie des procédés GP Compléments de Mathématiques M B Liste d'exercices Fonctions à plusieurs variables réelles Exercice Déterminer les C domaines de dé nition des fonctions suivantes f x y ln y ?? x f x y ?? x y C Exercice Soit la fonction f dé nie sur R par xy f x y x y si x y et f Calculer limite de f quand x y tend vers dans les cas suivants sur l'axe x'Ox sur l'axe y'Oy sur la droite y x En déduire que f n'est pas continue en Exercice Soit f x y x ?? x y y Calculer ? f ? f ? f ? x ? x ? y ? x Calculer les dérivées partielles d'ordre de la fonction f x y ln x y Puis calculer le laplacien ? f x y ? f ? x x y ? f ? y x y Exercice Soit f x y xyex y Calculer ? f et ? f ? x ? y Pour quelles valeurs de x y a-t-on ? f x y ? f x y ? x ? y Calculer les dérivées partielles d'ordre de f Evaluer les dérivées partielles de la question précédentes aux points trouvés dans la question Les points trouvés en sont-ils des extremums de f CExercice Déterminer les extremums de la fonction R f ?? ? R x y ?? ? f x y xy ?? x ?? y C RExercice Soit la fonction f à deux variables réelles dé nie pour tout x y ?? par f x y sinh x y cosh x ?? y Montrer que f admet un extremum et préciser sa nature Exercice Calcul du Laplacien en coordonnées polaires Soit f une fonction à deux variables x et y admettant des dérivées partielles secondes continues On rappelle que le Laplacien de f noté ? f est la fonction ? f ? f ? x ? f ? y En posant g r f x y f r cos r sin montrer que ? g ? g ? g ? f ? r r ? r ? r On dit que f est harmonique si ? f Est-ce que la fonction f x y x y est harmonique Exercice Soit f x y ? x ?? x y y Calculer ? f ? f et ? x ? x ? y ? f ? y On considère la fonction f x y e y ?? x sin x Montrer que ? f ? f ? y x y ?? x ? y x y C Soit la fonction à deux variables dé nies par f x y x y Montrer que et que ? f ? f x y ??f ? x ? y ? f ? f ? x ? f ? y f si x y C Intégrales doubles et triples Exercice Calculer les intégrales suivantes x y ?? dxdy D R