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Td corrige 1 Exercices sur la morphologie math ?ematique Isabelle Bloch Propri ?et ?es d ? op ?erations morphologiques Exercice Les a ?rmations suivantes sont elles vraies ou fausses l ? ?erosion d ? une fonction est croissante par rapport a la vr ??aie f

Exercices sur la morphologie math ?ematique Isabelle Bloch Propri ?et ?es d ? op ?erations morphologiques Exercice Les a ?rmations suivantes sont elles vraies ou fausses l ? ?erosion d ? une fonction est croissante par rapport a la vr ??aie fausse fonction a ?eroder l ? ?erosion d ? une fonction est croissante par rapport a ?? l ? ?el ?ement structurant l ? ?erosion d ? une image a niveaux de gris bouche des ?? ?? vall ?ees ? ?? un ?ltre altern ?e s ?equentiel est croissant ?? un ?ltre altern ?e s ?equentiel est idempotent ?? un ?ltre altern ?e s ?equentiel est extensif ?? un ensemble convexe est invariant par fermeture par un ?el ?ement structurant compact convexe un ensemble convexe est invariant par ouverture par ?? un ?el ?ement structurant compact convexe une ?erosion de taille suivie d ? une ?erosion de taille ?? est ?equivalente a une ?erosion de taille une ouverture de taille suivie d ? une ouverture de ?? taille est ?equivalente a une ouverture de taille Exercice Soient ? et ? des ouvertures alg ?ebriques croissantes idempotentes et anti-extensives Montrer l ? ?equivalence entre ? ? ? ? ? ? ? ? Inv ? ? Inv ? ouInv d ?esigne le domaine d ? invariance Supposons que ? ? ? Alors ? ? ? ? ? L ? anti-extensivit ?e de ? implique ? ? ? ? et l ? idempotence de ? implique ? ? ? donc ? ? ? L ? anti-extensivit ?e de ? implique ? ? Id ou Id d ?esigne l ? identit ?e La croissance de ? implique alors ? ? ? ? De plus l ? hypoth ese et la croissance de ? impliquent ? ? ? ? ? ? et donc ? ? ? On a donc ?? CSupposons que ? ? ? ? ? Pour tout x ?? Inv ? on a ? x x Donc ? x ? ? x ? x x et x ?? Inv ? On a donc ?? Supposons que Inv ? ? Inv ? Notons que l ? on a pour toute ouverture ? et pour tout x ? x y ?? Inv ? y ? x L ? hypothese implique que y ?? Inv ? y ? x ? y ?? Inv ? y ? x puisqu ? on calcule un sup sur un ensemble plus petit et donc ? ? ? On a donc ?? Comme ?? ?? ?? on a l ? ?equivalence entre les trois proprit ?et ?es Morphologie math ?ematique binaire Ouverture morphologique S ?election d ? objets Une image binaire I contient des disques de diametre des disques de diametre des segments de longueur des segments de longueur et des segments de longueur les segments pouvant avoir des orientations di ? ?erentes Exemple d ? op ?erations qui permettent ?? de supprimer uniquement les disques de diametre suppression des segments par une ouverture par un disque de diametre inf