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I) Le théorème de Pythagore A) Découverte A B C Le triangle ABC est rectangle e

I) Le théorème de Pythagore A) Découverte A B C Le triangle ABC est rectangle en …………. Le côté BC , opposé à l’angle droit , est l’hypoténuse du triangle ; c’est le plus grand côté On a AC = 9 m ; AB = 12 m ; BC = 15 m Calcule : AB² = ……………………………. AC² = ……………………………. BC² = ……………………………. Entoure la bonne proposition : AB² = AC² = BC² AB² + BC² = AC² AB² + AC² = BC² AB² = AC² + BC² B) Enoncé du théorème Dans un TRIANGLE RECTANGLE , le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des côtés de l’angle droit Si le triangle ABC est RECTANGLE en A , alors B BC² = AB² + AC² A C Exercice Pour chaque triangle rectangle , repasse l’hypoténuse en rouge et écris le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle : A B C ……..=………………… M N P ……..=………………… X Y Z ……..=…………………. H I J …….=…………………. 1 II) Calcul d’un côté du triangle rectangle connaissant les deux autres A) Le problème Lors d’un déménagement , tu dois faire entrer dans la maison une très grosse armoire … Elle passe bien par la porte , mais tu n’es pas sûr de pouvoir la redresser dans la pièce Plutôt que d’épuiser les livreurs pour rien , tu décides de faire un calcul pour savoir !! AU SECOURS MONSIEUR PYTHAGORE ! On ne pourra redresser l’armoire que si le coin supérieur A ne tape pas dans le plafond . Tu vas donc calculer la longueur de la diagonale AC de l’armoire. A 2,40 m 2,50 m B 0,77 m C Le triangle ABC est rectangle en ………. donc on peut écrire AC ² = ………² + ………² AC ² =………………………….. =……………….. Le nombre obtenu est le carré de la mesure de AC ; on prendra donc la racine carrée de ce nombre pour avoir la mesure de AC AC = .......... .......... = ………………… Alors , pourras-tu redresser l’armoire ? ……………… Pourquoi ? ………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………. Voilà donc une utilisation possible du théorème de Pythagore ! B) Calcul d’un côté La solution de l’exercice de gauche est entièrement rédigée ; les explications sur ce qui est fait se trouvent dans la colonne du milieu ; dans la colonne de droite , se trouve un exercice identique à résoudre , en suivant toutes les étapes. Les mesures sont données en cm. Tu donneras les résultats à 0,1 cm près. ¤ Exemple n° 1 : calcul de l’hypoténuse N X ? ? 1,5 2 M 3,1 O Y Z 3,5 2 Technique Commentaires Application Tr. MNO rectangle en M hypoténuse : NO 1) Vérifier qu’il s’agit d’un triangle rectangle et nommer l’hypoténuse ....................................................... ……………………………………. NO² = MN² + MO² 2) Ecrire le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle ...................................................... NO² = 1,5² + 3,1² NO² = 11,86 NO = NO 3,4 cm 3) Remplacer par les longueurs et calculer. 4) Mesurer sur le dessin pour vérifier ................................................. ................................................. ................................................. ................................................. A 7,3 ? B 4,8 C ………………………….…………………………… ……………………………………………………… …………………………..………………………… ……………………………………………………… …………………………….………………………… ………………………………..……………………… ……………………………….……………….………… ¤ Exemple n° 2 : calcul d’un des côtés de l’angle droit H R 4 1,8 3,1 2 J I ? T ? S Technique Commentaires Application Tr. HIJ rectangle en I 1) Vérifier qu’il s’agit d’un triangle rectangle et nommer l’hypoténuse .............................................................. 3 hypoténuse : HJ ............................................................... HJ² = IH² + IJ² 2) Ecrire le théorème de Pythagore pour le triangle ...........................................……......... Ici , la formule n’ est pas utilisable directement car ce n’est pas l’hypoténuse que l’on veut calculer IJ² = HJ² - IH² 3) Transformer l’équation pour sortir le côté à calculer ............................................................ IJ² = 4² - 1,8² IJ² = 12,76 IJ = IJ  3,6 4) Remplacer par les longueurs et calculer. 5) Mesurer sur le dessin pour vérifier ...........................................………..... .........................................………....... .................................………….............. ...................................…………............. A ? B 3,3 6 C ………………………….…………………………… ……………………………………………………… …………………………..………………………… ……………………………………………………… …………………………….………………………… ………………………………..……………………… ……………………………….……………….……… Exercices Résoudre ces différents exercices en suivant l’un des modèles précédents I ? 2,2 J 2,5 K ……………………………………………………..… ……………………………………………….……… M ? 3,8 N 2,5 O ……………………………………………………..… ……………………………………………….……… 4 …………………………………………….………… ……………………………………………………….. ……………………………………………………..… …………………………………………….………… ………………………………………………..……… …………………………………………….………… ……………………………………………………….. ……………………………………………………..… …………………………………………….………… ………………………………………………..……… E 6,3 2 G ? F ……………………………………………………..… ……………………………………………….……… …………………………………………….………… ……………………………………………………….. ……………………………………………………..… …………………………………………….………… ………………………………………………..……… R 5,2 S ? 3 T ……………………………………………………..… ……………………………………………….……… …………………………………………….………… ……………………………………………………….. ……………………………………………………..… …………………………………………….………… ………………………………………………..……… Le carré ABCD a 18 cm de côté. Trace la diagonale de ce carré. Calcule la longueur d de cette diagonale : A B D C …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….…………… III) Démontrer qu’un triangle est rectangle A) Réciproque du théorème de Pythagore * Le triangle ABC est tel que AB = 3 cm , AC = 4 cm et BC = 5 cm BC est le plus grand côté Calculer AB² + AC² = ..................................................... Calculer BC² = ....................................... Peut-on écrire que BC² = AB² + AC² ?. ………….. B 5 Mesurer l’angle \s\up7(0 = .................. Le triangle ABC est donc ………………………………en… C A * Le triangle DEF est tel que DE = 7,7 cm , DF = 7,3 cm et EF = 8,7 cm ………. est le plus grand côté DE² + DF² = ................................................................... EF² = ................................. Peut-on écrire que BC² = DE² + DE² ?. ………….. Mesurer l’angle \s\up7(0 =...................... Le triangle DEF ………..…………………………………... E D F Si dans un triangle , le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , alors ce triangle est rectangle ; l’angle droit est opposé au plus grand côté . Si AB² + AC² = BC² alors le triangle ABC est rectangle en A B) Application Soit un triangle EFG tel que EF = 4 cm , EG = 8 cm et FG = 6 cm ; ce triangle est-il rectangle ? Soit un triangle HIJ tel que HI = 12 cm , HJ = 8 cm et IJ = 19 cm ; ce triangle est-il rectangle ? Technique Commentaires Application EG est le plus grand côté 1) Déterminer le plus grand côté qui pourrait être l’hypoténuse ....................................…………............... Si le triangle est rectangle , on devrait pouvoir écrire: EG² = EF² + FG² 2) Enoncer le théorème de Pythagore qu’il faut vérifier .................................................................... .................................................................... .................................................................. 6 EG² = 8² = 64 EF² + FG² = 4² + 6² = 52 3) Calculer pour vérifier .........................................…………........... .........................................…………........... La relation de Pythagore n’étant pas vérifiée , le triangle EFG n’est pas rectangle 4) Conclure ...................................................................... ...................................................................... .……………………………................... Exercices Les triangles suivants sont-ils rectangles ou non ? H 12 cm 20 cm I J 16 cm …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… D 17 cm 25 cm E F 44 cm …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Le triangle KLM a pour mesures : KL = 3,54 m KM = 7,32 m LM = 5,56 m …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Le triangle VWX a pour mesures : VW = 25,5 cm VX = 34 cm WX = 42,5 cm …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 7 uploads/Geographie/ pythagore.pdf