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Corr devoir maison n1 s2 lycee al kadi

éme Bac PC- etude-generale com Matiére Mathématiques Professeur Yahya MATIOUI Correction du devoir Masion N Probléme d ? analyse On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que f x x ln x et soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repére orthonormé O i j unité cm Partie Montrons que Df e e Df fx R x et ln x g fx R x et ln x g fx R x et x eg e e a Calculons limx e f x et limx e f x lim f x lim x e x e x ln x Car si x e alors x e de plus ln x donc ln x Interprétation géométrique Cf admet une asymptote verticale d ? équation x e De même on calcule limx e f x On obtient lim f x lim x e x e x ln x Car si x e alors x e de plus ln x donc ln x Interprétation géométrique Cf admet une asymptote verticale d ? équation x e b Calculons limx f x lim f x lim x x x ln x Car lim x ln x x CInterprétation géométrique Cf admet une asymptote horizontale d ? équation y au voisinage de c Montrons que limx f x lim f x lim lim x x x ln x x x Car lim x x ln x x x ln x Interprétation géométrique Cf admet une asymptote verticale d ? équation x a La fonction f est dérivable sur Df Calculons f x pour tout x Df f x x ln x x ln x x ln x ln x x x x ln x ln x x ln x ln x x ln x comme x ln x alors le signe de f x est celui de ln x pour tout x Df Or on sait d ? après le cours que ln x pour tout x et ln x pour tout x Donc on déduit que pour tout x on a f x Ce qui signi ? e que la fonction f est décroissante sur Par ailleurs pour tout x e e on a f x Ce qui sign ? e que la fonction f est croissante sur chacun des deux intervalles e et e Partie Soit g la fonction numérique dé ? nie sur par g x x ln x Cet soit Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repére orthonormé voir ? gure y - - x a D ? après le graphe on voit que la courbe Cg coupe l ? axe des abscisses en deux points di érents Ce qui signi ? e que l ? équation E g x admet deux solutions dans l ? intervalle b Montrons que l ? équation E admet une solution telle que La fonction g est continue sur en e et g s ? écrit comme la somme de deux fonctions u x