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Loi de poisson Figure ?? Siméon Denis Poisson La loi de P oisson P ? Remarque Siméon Denis Poisson juin à Pithiviers - avril à Sceaux est un mathématicien géomètre et physicien français EXERCICE On réalise des essais de pour valeurs le nombre gre ?age sur

Figure ?? Siméon Denis Poisson La loi de P oisson P ? Remarque Siméon Denis Poisson juin à Pithiviers - avril à Sceaux est un mathématicien géomètre et physicien français EXERCICE On réalise des essais de pour valeurs le nombre gre ?age sur échantillons de gre ?es réussis Pour n comportant chacun ceps et p calculons S oit X la variable n k pkqn ??k et aléatoire prenant np k e ??np avec k k ?? n p np Loi binômiale Loi de Poisson ?? k Régle ? Si p ? n ? et npq ? ? Ou si p ? n ? et np ? ? Alors Onku spi kpq ? n ?? k ??n ? ?k k e ??et ? np ? avec ? np C ? est à dire que la loi B inomiale B n p peut être approchée par la loi de P oisson P ? o? ? np DÉFINITION Soit X une variable aléatoire dont l ? univers image est égal à N On dit que X suit la loi de P oisson de paramètre ? avec ? si et seulement si P X k e ?? ? ? ?k De plus E X ? et V X ? ainsi que ?? k ? X ? On l ? appelle aussi la loi des événements rares CEXEMPLE Faute de frappe dans un de mes cours événement excessivement rare PROPRIÉTÉ Les lois de P oisson interviennent dans la modélisation de phénomènes aléatoires o? le futur est indépendant du passé pannes de machines sinistres ?les d ? attente mortalité stocks pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné le contrôle de qualité statistique la description de certains phénomènes liés à la désintégration des noyaux radioactifs la biologie la météorologie la ?nance pour modéliser la probabilité de défaut d ? un crédit EXERCICE X ? Calculer P X et P X ? EXERCICE Un agent de maintenance en automatisme doit couvrir un atelier de fabrication o? il y a en moyenne ? pannes jour Quelle est la probabilité d ? avoir pannes ou plus par jour Quelle est la probabilité d ? avoir pannes ou plus au cours d ? une semaine de jours ouvrables Remarque D ? après la règle précédente nous pouvons donner une approximation de B n p par P ? avec ? np EXERCICE Un éleveur de poulets ne peut chaque semaine satisfaire à la demande dans des cas Soit X la variable aléatoire égale au nombre de défaillances dans une année de semaines d ? activités Quelle loi suit la variable aléatoire X Par quelle loi peut-on approcher la loi précédente Calculer alors les probabilités p il n ? y a aucune défaillance pendant l ? année p il y a plus de défaillances pendant l ? année EXERCICE Dans un atelier le nombre d ? accidents du travail en une période de une semaine suit une loi de Poisson de moyenne Calculer les probabilité des événements Il