Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Centrale supelec mp 2012 maths 2 epreuve

Mathématiques MP heures Calculatrices autorisées Ce sujet est divisé en trois parties La partie III est indépendante des deux premières même si les parties II et III ont en commun de s ? intéresser à des matrices dites de Hankel Il est attendu des candidat e s qu ? ils fassent preuve de qualités de rédaction de clarté et de présentation Notations Dans tout le problème K désigne indi ?éremment R ou C On note KN l ? espace vectoriel des suites à valeurs dans K Pour tout espace vectoriel E sur K on note L E l ? algèbre des endomorphismes de E On note ? l ? élément de L KN qui à tout x xn n ??N de KN associe y yn n ??N dans KN de terme général yn xn On note K X l ? algèbre des polynômes à coe ?cients dans K et Km X le sous-espace vectoriel de K X formé des polynômes de degré inférieur ou égal à m On rappelle qu ? un polynôme non nul est dit unitaire si le coe ?cient de son monôme de plus haut degré vaut On note Mn K l ? algèbre des matrices carrées d ? ordre n à coe ?cients dans K Si M est une matrice carrée on note tM sa transposée et tr M sa trace On note Sn R l ? ensemble des matrices carrées symétriques d ? ordre n à coe ?cients réels Rappels sur les polynômes d ? endomorphisme On e ?ectue ici quelques rappels utiles sur les polynômes d ? endomorphisme d ? un espace vectoriel Soit E un espace vectoriel sur K On note Id l ? endomorphisme identité de E p p Pour tout f de L E et tout A akXk de K X on note A f akf k avec la convention f Id k k Pour tout f de L E l ? application A ? A f est alors un morphisme d ? algèbres de K X dans L E Rappelons que cela signi ?e que pour tous A B de K X et pour tous scalaires ? de K on a ?? A ?B f A f ?B f ?? si A alors A f Id ?? AB f A f B f B f A f Cas particulier utile dans la suite du problème p p ?? Si E KN f ? et A akXk alors A ? ak ?k k k p ?? Pour tout x de KN y A ? x est donc la suite de terme général yn akxn k k I Suites récurrentes linéaires Soit p un entier naturel On dit qu ? un élément x de KN est une suite récurrente linéaire en abrégé une srl d ? ordre p s ? il existe un p polynôme A akXk dans K X de degré p tel que A ? x soit la suite nulle c ? est-à-dire si k ??n ?? N p akxn