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Cours de logarithme 2bac pc

J M -FONCTIONS LOGARITHMES - bac-PC Fonction Logarithme N ?ep ?erien D ?e ?nition La fonction x ?? ? est continue sur l ? intervalle ? donc elle admet une fonction primitive qui x s ? appelle la fonction logarithme n ?ep ?erien On la note par ln et elle v ?eri ?e ln Remarque ln R ? ?? ? R x ?? ? ln x ??x ?? R ? ln x x ln Exemple D ?eterminer dans chacun des cas le domaine de d ?e ?nition Df des fonctions suivantes f x ln x ?? f x ln x ln ?? x D ?e ?nition La fonction ln est strictement croissante sur l ? intervalle ? ?? x y ?? R ? ln x ln y ? ?? x y ?? x y ?? R ? ln xy ln x ln y ?? x y ?? R ? ??n ?? N ? ln k n ? xk k n ? ln xk k k ??x ?? R ? ?? x y ?? ln x R ? ?? ln ln x x y ln x ?? ln y ??r ?? Q ln xr r ln x Preuve Cette relation se d ?emontre en utilisant un raisonnement par r ?ecurrence Soit x ?? R ? on a ln x ln x ln x x C ? est adire que ln x ln ln donc ln x ln D ? ou ln ?? ln x x x x Soient x et y des ?el ?ements de R ? on a ln x y ln x y ln x ln y ln x ?? ln y De la propri ?et ?e on en d ?eduitt que ??n ?? N ? ??x ln xn n ln x de m eme on a Dlno nxc ??n ?? p ??lnZ x lnn x p ?? lnp lxnn x ??n ln x et ln x ln Soit r ?? Q ou r p q avec p ?? Z et q ?? N ? On a q ln xr p q ln x q ln xp p ln x d ? ou ln xr p ln x donc ln xr r ln x q CRemarque Soient a et b deux nombres r ?eels strictements n ?egatifs on a ab et a donc d ? apr es la propri ?et ?e b caract ?eristique on a ln ab ln a ln b et ln a ln a ?? ln b b On a ??x ?? ? ln x ln x c ? est a dire que ??x ?? ? ?? ln x ln x En g ?en ?eral on a ??n ?? N ?? ??x ?? ? ?? ln n x n ln x Exemple Simpli ?er les expressions suivantes A ln ?? ln B ln ln C ?? ln ?? ?? ln Exemple R ?esoudre les ?equations et les in ?equations suivantes ln x ?? ln x ?? ln x ln x ln ln x ? ln x