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Exercices corriges matrices orthogonales endomorphismes orthogonaux

Exercices corrigés - Matrices orthogonales endomorphismes orthogonaux Généralités sur les matrices orthogonales Exercice - Matrices orthogonales triangulaires supérieures Signaler une erreur Ajouter à ma feuille d'exos Enoncé Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures Indication Commencer par les matrices de taille de taille Corrigé On va prouver que ce sont les matrices diagonales dont les coe ?cients diagonaux sont égaux à Commençons par la première colonne de la matrice M orthogonale et triangulaire supérieure Puisque sa norme vaut et que seul le premier coe ?cient est non-nul celui-ci vaut Considérons désormais la deuxième colonne dont les coe ?cients éventuellement non-nuls sont m et m Puisque la première colonne est orthogonale à cette colonne on a m et donc m En considérant la norme on trouve que m Considérons maintenant la troisième colonne Se s coe ?cients éventuellement non-nuls sont m m et m Écrivons que la troisième colonne est orthogonale à la première On trouve m Écrivons ensuite que la troisième colonne est orthogonale à la seconde On trouve m Le calcul de la norme donne m On continue ainsi pour chaque colonne Réciproquement une matrice diagonale dont les coe ?cients diagonau x sont égaux à est bien une matrice orthogonale Exercice d'exos CNS pour que la matrice soit orthogonale Signaler une erreur Ajouter à ma feuille Enoncé Soient a b c ?? R on pose S a b c et ? ab bc ca et ?a b c M ?c a b b c a ? Démontrer que M ?? O R si et seulement ? et S Démontrer que M ?? SO R si et seulement si ? et S Indication Les colonnes forment une famille orthonormale Calculer en plus le déterminant sous forme factorisée Corrigé On sait que M ?? O R si et seulement si les colonnes forment une base orthonormale de R Or le produit scalaire de deux colonnes di ?érentes est toujours égal à ? et la norme de chaque colonne vaut a b c On a donc M ?? O R ? ? et a b c Or si ? on a CS a b c ? a b c On en déduit donc que M ?? O R ? ? et S ? ? et S On a M ?? SO R ? M ?? O R et det M ? ? et S et det M Calculons le déterminant de M On a ??a b c ?? det M ?? ?? c a b ?? ?? ? ??b c a ?? ?? a b c ?? ?? a b c ?? a b c b c ?? a b ?? ?? c a ?? ?? b c ?? a b c ?? ?? a b ?? ?? ?? c a ?? ?? b c ?? S ?? ?? a ??b b ?? c ?? ?? ?? c ??b a ??c ?? S a b c ?? ab ?? bc ?? ca S S ?? ? Maintenant si on sait déjà que