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Le theoreme de fermat FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE LIMOGES - IREM et IUFM DU LIMOUSIN Formation continue second degré Mathématiques actuelles Le théorème de Fermat pour p régulier p x y z Stéphane Vinatier Le dernier théorème de Fermat a été démo

FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE LIMOGES - IREM et IUFM DU LIMOUSIN Formation continue second degré Mathématiques actuelles Le théorème de Fermat pour p régulier p x y z Stéphane Vinatier Le dernier théorème de Fermat a été démontré par WILES en après plus de trois siècles d ? e ?orts des mathématiciens théoriciens des nombres Il s ? agit de montrer que si n est un entier supérieur ou égal à l ? équation xn yn zn n ? a pas de solution entière x ?? y ?? et z ?? non triviale xy z Ce résultat n ? a pas de conséquences mathématiques notables cependant les recherches qui ont ?nalement abouti à sa résolution ont été sources de progrès considérables dans plusieurs domaines des mathématiques FERMAT - était lui-même en mesure de démontrer son théorème pour quelques petites valeurs de n mais il ne pouvait soupçonner l ? existence d ? une dif ?culté cruciale pour n l ? anneau dans lequel se font les calculs n ? est alors plus principal A son époque les notions de groupe et d ? anneau sont inconnues le concept d ? anneau non principal est à fortiori complètement hors d ? atteinte Une étape importante vers la résolution a été franchie lorsque le mathématicien allemand KUMMER a introduit en la notion d ? idéaux dans le but de remédier partiellement à cette dif ?culté la propriété d ? unique factorisation en produit d ? irréductibles n ? est pas vraie pour les éléments de l ? anneau quand celui-ci n ? est pas principal mais elle est vraie pour les idéaux des anneaux qui interviennent ici Nous allons voir comment cette notion permet de démontrer le premier cas p xy z du théorème de Fermat pour un nombre premier n p régulier nous verrons plus loin ce que cela signi ?e c ? est une hypothèse qui adoucit ? le fait que l ? anneau ne soit pas principal Echau ?ement L ? équation de Fermat pour n a des solutions non triviales on se ramène à x z y z donc à chercher les points du cercle trigonométrique à co- ordonnées rationnelles c ? est-à-dire dans On paramétrise le cercle en utilisant cos ??t t et sin t t o? t tan les valeurs rationnelles de t fournissent les solutions CDès lors montrer que l ? équation de Fermat n ? a pas de solution pour n ? se ramène à montrer qu ? elle n ? en a pas pour n et pour tout nombre premier impair p En e ?et xab yab zab ?? xa b ya b za b et tout entier supérieur à est divisible par ou par un premier impair En ?n on se ramène aisément à montrer qu ? il n ? y a pas de solutions x y z avec x y et z premiers entre eux FERMAT a traité le cas n à l ? aide du principe de la