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Analyse mathematique complet

Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot Paris - IREM Préparation à l ? Agrégation Interne mars C CTable des matières Suites de nombres réels Développement décimal des nombres réels cf Per Cas des nombres rationnels cf Per Axiome de la borne supérieure Suites de nombres réels Exercices Sur le développement décimal Autres suites numériques Approximation Rapidité de convergence Accélération de convergence Suites données par une formule de récurrence un f un Solution d ? une équation g x Exercices Topologie des espaces métriques Dé ?nitions et propriétés Distances espaces métriques Exemples d ? espaces métriques Propriétés des distances Notions topologiques Propriétés métriques Comparaison de distances Produits ?nis d ? espaces métriques Les grandes notions de topologie Compacité Espaces métriques connexes Espaces métriques complets Exercices Espaces métriques Espaces métriques compacts Connexité Complétude i C Espaces vectoriels normés espaces de Banach Applications linéaires continues Espaces vectoriels normés de dimension ?nie Espaces préhilbertiens Polynômes orthogonaux Exercices Espaces vectoriels normés Applications linéaires continues et leurs normes Utilisation de la compacité Espaces préhilbertiens Un peu de Fourier Polynômes orthogonaux Séries Séries généralités Séries à termes positifs Séries absolument normalement convergentes Séries semi-convergentes Exercices Suites et séries de fonctions Suites de fonctions Séries de fonctions Les principaux théorèmes Séries entières Exercices Fonctions d ? une variable réelle Continuité Dé ?nitions des limites et continuité Relations de comparaison entre fonctions Théorème des valeurs intermédiaires Continuité sur un segment Dérivabilité Dé ?nitions et propriétés élémentaires Théorèmes des accroissements ?nis Dérivées successives Formules de Taylor ii C Fonctions convexes Exercices Continuité Bijectivité et fonctions réciproques Dérivabilité Convexité Dérivées successives formules de Taylor Fonctions de plusieurs variables Fonctions di ?érentiables Di ?érentielles d ? ordre supérieur Extremums Di ?éomorphismes Exercices Équations di ?érentielles Équations di ?érentielles linéaires Théorème d ? existence et unicité Méthode de la variation des constantes Systèmes à coe ?cients constants Notions sur les équations di ?érentielles non linéaires Le théorème de Cauchy-Lipschitz Quelques exemples de résolution explicite ? d ? équations di ?érentielles Un exemple qualitatif ? Lois de Kepler Exercices Solutions des exercices Suites Approximation Topologie Espaces vectoriels normés Séries Suites et séries de fonctions Fonctions d ? une variable réelle Fonctions de plusieurs variables Équations di ?érentielles Repères bibliographiques Index iii C C Suites de nombres réels Références pour ce chapitre les livres classiques de premières années vos livres de L -L DEUG ou CPGE L M L-F A M Ana RDO etc Pour les développements décimaux - surtout des nombres rationnels on consultera volontiers Per voir biblio p Les nombres et les opérations sur les nombres sont des objets que l ? on rencontre bien sûr très tôt en mathématiques On rencontre d ? abord les nombres entiers positifs puis comme ils sont insu ?sants pour la soustraction et la division on est amené à introduire les entiers relatifs puis les nombres rationnels Le corps Q des nombres rationnels est insu ?sant il manque des points qui auraient dû y être Q n ? est pas complet On est