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Chap 1 mf 1 2020 2021 U S T H B Faculté de Mathématiques M MF Statistique Inférentielle Chapitre Rappels et compléments C Variables aléatoires loi de probabilité Dé nition Soient F et ? T deux espaces mesurables et X une application mesurable de F dans ?

U S T H B Faculté de Mathématiques M MF Statistique Inférentielle Chapitre Rappels et compléments C Variables aléatoires loi de probabilité Dé nition Soient F et ? T deux espaces mesurables et X une application mesurable de F dans ? T X ?? ? ? ? X ? On dit que X est une variable aléatoire v a si ??B ?? T X ?? B ? ?? X ? ?? B ?? F C C Si ? est discret ni ou in ni dénombrable alors X est dite discrète Si ? R X sera dite réelle On prendra alors T BR la tribu des boréliens de R Si ? Rd X sera appelé vecteur aléatoire On prendra alors T C BRd Dé nition Soit B P un espace probabilisé et X une v a sur B L'application PX B ?? ? B PX B P X ?? B est une mesure de probabilité sur R BR appelée Loi de probabilité de X C Dé nition Soit B P un espace de probabilités et X ?? ? R une variable aléatoire réelle V A R On appelle fonction de répartition de X la fonction réelle F R ?? ? x F x P X ? x PX ?? ? x Proposition La fonction de répartition F d'une v a r X satisfait aux proporiétés suivantes F est croissante au sens large F est continue à droite en tout point x ?? R Lim F x et Lim F x x ? ?? ? x ? ? Preuve Exercice Z Guessoum Page CRemarque Lorsqu'une fonction F satisfait les propriétés précédentes alors F est forcément la fonction de répartition d'une certaine variable aléatoire Proposition À toute fonction de répartition F correspond une et C une seule mesure de proba- bilité P sur R BR véri ant PX ?? ? x F x ??xR En plus clair la proposition précédente est équivalente à Si X et Y sont deux v a r de fonctions de répartition respectives FX et FY alors PX PY C ? ?? FX FY Dé nition Soit B P un espace de probabilités tel que x x xp La loi de probabilité d'une v a discrète est caractérisée par ??B ?? B P X ?? B P X xi xi ??B Exemple Un dé à faces comporte faces numérotées faces numérotées face numérotée et face numérotée Soit X la v a égale au numéro de la face obtenue Alors X P X P X P X P X F F F F F F F F F F F F F F F F F x x ? x ? x F F F F F F F F F F F F F F ? x x ? C Dé nition Une v a r X de fonction de répartition F est dite absolument continue s'il existe une foncion f R ?? ? R telle que x F x f t dt pour tout x ?? R ??