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Cours logique mathematique chapitre 2 logique propositionnelle

Notes de Cours de logique mathématique Chapitre La logique propositionnelle Par Dr S BOUYAKOUB I Introduction On appelle logique propositionnelle la partie de la logique qui traite des propositions Les propositions contrairement aux paradoxes sont des a ?rmations qui ne peuvent être que vraies ou fausses Par exemple le ciel est bleu les coquelicots sont jaunes sont des propositions L'un des buts de la logique propositionnelle est d'élaborer un calcul que nous nommerons calcul propositionnel Cela entra? ne que les propositions soient traitées comme des variables donc désignées par des lettres p q r et que l'on introduise des opérations permettant de combiner les valeurs de ces variables Nous admettons que ces variables sont à valeurs dans l'ensemble Vrai Faux noté aussi La logique propositionnelle permet ?? La représentation des propositions d'une manière formelle le langage du calcul propositionnel ?? Déduction de nouvelles propositions à partir d'autres propositions système déductif ?? Véri ?cation de la validité des propositions d'une manière formelle tables de vérité II Les paradoxes Le paradoxe en est une a ?rmation qui contient une contradiction logique vraie et fausse en même temps ou un raisonnement qui bien que sans faille apparente aboutit à une absurdité ou encore une situation qui contredit l'intuition commune Exemples ? Paradoxe de l'autoréférence Considérons la phrase suivante cette phrase est fausse Si cette phrase est vraie alors elle est fausse Et si elle est fausse de par son contenu alors elle est vraie CNotes de Cours de logique mathématique ? Paradoxe de Zénon d'Elée La course à pied Par Dr S BOUYAKOUB Pour atteindre la ligne d'arrivée un coureur doit d'abord parcourir la moitié de la distance qui le sépare de cette ligne puis la moitié de la distance restante et ainsi de suite à l'in ?ni Le coureur ne terminera donc jamais la course Ce paradoxe dit de la dichotomie c'est à dire division par deux veut montrer l'impossibilité du mouvement Il tend à mettre en doute la vérité par un raisonnement logique Cependant si on fait la somme in ?nie de toutes les distances du problème on trouve La limite de cette suite vaut Mais une limite est ce vers quoi on tend sans jamais l'atteindre III Le tiers exclu Toute proposition est soit vraie soit fausse IV Le langage du calcul propositionnel Dé ?nir un langage revient à dé ?nir ?? Des symboles alphabet ?? Des expressions formules Soit Lp ?? un langage propositionnel IV L'alphabet L'alphabet de Lp ?? se compose de trois classes de symboles ? Les symboles des variables propositionnelles lettres majuscules avec ou sans indices A B C A A ? ? Les symboles logiques ou connecteurs ?? ? Les symboles impropres ' ' et ' ' IV Les formules L'ensemble des formules de Lp ?? est dé ?ni inductivement de la manière suivante ?? Toute variable propositionnelle est une formule atomique simple ?? Si et ? sont deux formules alors ?? ? sont des formules composées Les lettres grecques sont utilisées pour représenter les