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Cours mesure integration Mesure et Intégration Université Claude Bernard Lyon Licence de mathématiques troisième année Parcours Mathématiques générales et applications Petru Mironescu ?? C CVue d ? ensemble Ce texte est une introduction détaillée aux aspe

Mesure et Intégration Université Claude Bernard Lyon Licence de mathématiques troisième année Parcours Mathématiques générales et applications Petru Mironescu ?? C CVue d ? ensemble Ce texte est une introduction détaillée aux aspects les plus basiques de la théorie de Lebesgue de la mesure et de l ? intégration On peut comprendre les briques de cette théorie à partir du calcul de l ? inté ?b grale de Riemann I ?? f pxq dx Rappelons que du moins si f est continue par a morceaux sur ra bs et positive I s ? interprète comme l ? aire du domaine D compris entre le graphe de f et l ? axe Ox De manière théorique pour calculer I nous com- mençons par le cas o? f est une fonction en escalier c ? est-à-dire une fonction de la forme ? a si x P I ? f pxq ?? ? a si x P I ? ? ? an si x P In avec les Ij intervalles disjoints dont l ? union est ra bs Dans ce cas D est une union de rectangles disjoints de base Ij et de hauteur aj et nous posons naturellement ? ?b n ? f pxq dx ?? ajmpIjq a j ?? avec mpIjq la longueur ou encore la mesure de Ij Dans le cas général nous approchons ? f par des fonctions en escalier et son intégrale par les intégrales de ces fonctions en escalier ceci sera brièvement rappelé dans la section La généralisation de cette approche nécessite a De pouvoir mesurer des ensembles Dans le cas d ? une fonction en escalier il s ? agit de mesurer les intervalles Ij b De dé ?nir l ? intégrale des fonctions simples ? du type fonctions en escalier Dans la théorie de l ? intégration leur nom est fonctions étagées CVue d ? ensemble c De dé ?nir un procédé d ? approximation des fonctions générales ? par des fonctions étagées Les fonctions approchables sont les fonctions mesurables d De dé ?nir l ? intégrale des fonctions mesurables Si tout ce programme est achevé ce n ? est que le début Il reste encore à établir e Les propriétés de l ? intégrale ainsi dé ?nie Ainsi on s ? attend à ce que l ? intégrale soit linéaire qu ? elle véri ?e l ? inégalité triangulaire et autres propriétés fondamentales de l ? intégrale de Riemann f Des méthodes concrètes de calcul des intégrales intégration par parties changement de variable calcul d ? intégrales multiples à partir d ? intégrales itérées théorème de Fubini etc g Et surtout d ? illustrer par des applications l ? utilité de la théorie Ce programme minimal dans la mesure o? la théorie de la mesure et de l ? intégration est bien plus riche que ce que nous verrons sera mis en place dans ce qui suit Et encore l ? intégration par parties formule de Stokes ne sera pas vue En bref Le