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Lm pdf Université Joseph Fourier Grenoble Maths en Ligne Langage mathématique Eric Dumas Emmanuel Peyre et Bernard Ycart Ce chapitre vous explique la règle du jeu mathématique Rien n ? est vraiment nouveau ni compliqué Pour donner des exemples d ? énoncés

Université Joseph Fourier Grenoble Maths en Ligne Langage mathématique Eric Dumas Emmanuel Peyre et Bernard Ycart Ce chapitre vous explique la règle du jeu mathématique Rien n ? est vraiment nouveau ni compliqué Pour donner des exemples d ? énoncés nous ferons appel à quelques notions de base sur les nombres entiers que vous connaissez depuis longtemps Table des matières Cours Assertions Ensembles Quanti ?cateurs Applications Cardinaux Relations Raisonnements Entra? nement Vrai ou faux Exercices QCM Devoir Corrigé du devoir Compléments La quanti ?cation des prédicats Ces longues cha? nes de raisons Le Docteur Illuminé Ramener l ? in ?ni au ?ni Lettres à une Princesse d ? Allemagne Froid dans le dos Le rêve de Hilbert La langue universelle de Peano Les cardinaux in ?nis Ensembles quotients Démonstrations non constructives L ? ensemble de tous les ensembles juillet CMaths en Ligne Langage mathématique UJF Grenoble Cours Assertions On peut voir le langage mathématique comme un jeu de construction dont le but est de fabriquer des énoncés vrais La règle de base de ce jeu est qu ? un énoncé mathématique ne peut être que vrai ou faux Il ne peut pas être presque vrai ? ou à moitié faux ? Une des contraintes sera donc d ? éviter toute ambigu? té et chaque mot devra avoir un sens mathématique précis Selon le cas un énoncé mathématique pourra porter des noms di ?érents ? assertion c ? est le terme que nous utiliserons le plus souvent pour désigner une a ?rmation dont on peut dire si elle est vraie ou fausse ? théorème c ? est un résultat important dont on démontre ou on admet qu ? il est vrai et qui doit être connu par c ?ur ? proposition nous utiliserons ce terme pour désigner un résultat démontré moins important qu ? un théorème ? lemme c ? est un résultat démontré qui constitue une étape dans la démonstration d ? un théorème ? corollaire c ? est une conséquence facile d ? un théorème ou d ? une proposition Dans ce cours les démonstrations se terminent par un carré blanc plutôt que par le célèbre CQFD ce qu ? il fallait démontrer ? Pour écrire formellement des énoncés mathématiques on utilise des lettres représentant des concepts nombres ensembles fonctions vecteurs matrices polynômes avec des symboles logiques et des relations Le but de ce chapitre étant d ? illustrer la manipulation du langage il ne comportera aucune di ?culté mathématique Nous en resterons à des énoncés très simples que l ? on prendra soin de toujours traduire en langage courant pour bien les comprendre Dans ce qui suit les lettres m et n désignent des entiers naturels Nous n ? utiliserons que les symboles de comparaison et de divisibilité Rappelons que m n m divise n ? si n est égal au produit km pour un certain entier k n n n n l ? entier n est strictement inférieur à l ? entier n est supérieur ou égal