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Lyapunov FONCTIONS DE LYAPUNOV APPLICATION AL ? E ?TUDE DE DIFFUSIONS par Philippe Carmona R ?esum ?e ?? Cette note fait la synthese de plusieurs papiers de Luc Rey-Bellet et Lawrence Thomas Elle montre comment utiliser une fonction de Lyapunov pour ?? Mo

FONCTIONS DE LYAPUNOV APPLICATION AL ? E ?TUDE DE DIFFUSIONS par Philippe Carmona R ?esum ?e ?? Cette note fait la synthese de plusieurs papiers de Luc Rey-Bellet et Lawrence Thomas Elle montre comment utiliser une fonction de Lyapunov pour ?? Montrer qu ? une di ?usion n ? explose pas est d ?e ?nie pour tout temps ?? Montrer l ? existence d ? une mesure de probabilit ?e invariante ?? Montrer l ? unicit ?e d ? une mesure de probabilit ?e invariante ?? Montrer la convergence exponentielle du semi groupe vers la mesure invariante Nous utilisons les crit eres obtenus pour montrer l ? existence l ? unicit ?e de la mesure de probabilit ?e invariante pour une cha ne d ? oscillateurs en communication avec deux r ?eservoirs de temp ?erature Nous obtenons ?egalement la convergence exponentielle du semi-groupe vers la mesure invariante Crit ere de non explosion d ? une ?equation di ? ?erentielle stochastique Etant donn ?ee l ? ?equation di ? ?erentielle stochastique dXt b Xt dt ? Xt dBt avec Xt ?? Rn Bt un mouvement Brownien m dimensionnel On suppose les coe ?cients b Rn ? Rn ? Rn ? Mn? m localement Lipschitziens Alors on sait que pour tout point de d ?epart x il y a existence locale sur un intervalle al ?eatoire avec presque su rement Classi ?cation math ?ematique par sujets ?? C PHILIPPE CARMONA Il y a existence globale i e ? presque su rement si b et ? ont une croissance sous lin ?eaire Exemple ?? On consid ere une particule dans un potentiel V ie dont la dynamique est d ?etermin ?ee par le Hamiltonien H p q p V q Celle ci est plac ?ee dans un bain de chaleur a la temp ?erature T i e aux ?equations q ? pH p ?? ? qH on rajoute un bruit de type Ornstein- Uhlenbeck ou Langevin dqt dpt dt dpt ?? ?p ?? ??V qt dt ?T dBt ? est un param etre de scaling et V est suppos ?e C En cons ?equence V q ? C q ?? existence globale Que faire si V q q D ?e ?nition ?? Une fonction de Lyapunov est une fonction continue W Rn ? R telle que W x ? et limW x x to ? ? En partic- ulier les ensembles de niveau x W x ? a sont compacts Th ?eor eme ?? Si les coe ?cients b ? sont localement lipschitziens s ? il existe une constante c et une fonction de Lyapunov W telles que LW ? cW Alors il y a existence globale des solutions pour tout point de d ?epart et Ex W Xt ? ectW x Application a l ? exemple ?? Ici L A L L avec Af ? p H ? q f ?? ? qH ? pf le g ?en ?erateur du hamiltonien H p V q L f ?? ?p ? pf L